त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 1.
निम्नलिखित का मान निकालिए :
(i) sin18∘cos72∘
(ii) tan26∘cot64∘
(iii) cos 48° – sin 42°
(iv) cosec 31° – sec 59°
हल
(iii) cos 48° – sin 42°
= cos (90° – 42°) – sin 42°
= sin 42° – sin 42°
= 0 [∵ cos (90° – A) = sin A]
अतः cos 48° – sin 42° = 0
(iv) cosec 31° – sec 59°
= cosec (90° – 59°) – sec 59°
= sec 59° – sec 59°
= 0 [∵ cosec (90° – A) = sec A]
अतः cosec 31° – sec 59° = 0
प्रश्न 2.
दिखाईये की
(i) tan 48° tan 23° tan 42° tan 67° = 1
(ii) cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52° = 0
हल
(i) L.H.S. = tan 48° tan 23° tan 42° tan 67°
= tan 48° tan 23° tan (90° – 48°) tan (90° – 23°)
= tan A tan B tan (90° – A) tan (90° – B) [माना A = 48°, B = 23°]
= tan A tan B cot A cot B
= tan A tan B . 1tanA⋅1tanB [∵ cot A = 1tanA, cot B = 1tanB]
= 1
= R.H.S.
L.H.S. = R.H.S.
(ii) L.H.S. = cos 38° cos 52° – sin 38° sin 52°
= cos 38° cos (90° – 38°) – sin 38° sin (90° – 38°)
= cos A cos (90° – A) sin A sin (90° – A) [यदि 38° = A हो]
= cos A sin A – sin A cos A [∵ cos (90° – A) = sin A और sin (90° – A) = cos A]
= sin A cos A – sin A cos A
= 0
= R.H.S.
L.H.S.= R.H.S.
प्रश्न 3.
यदि tan 2A = cot(A – 18°), जहाँ 2A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan 2A = cot(A – 18°)
⇒ tan θ = cot(A – 18°) [माना 2A = θ]
⇒ cot (90° – θ) = cot (A – 18°) [∵ tan θ = cot(90° – θ)]
⇒ 90° – θ = A – 18°
⇒ 90° – 2A = A – 18° [θ = 2A रखने पर]
⇒ 90° + 18° = A + 2A
⇒ 3A = 108°
⇒ A = 36°
अत: A का मान = 36°
प्रश्न 4.
यदि tan A = cot B, तो सिद्ध कीजिए कि A + B = 90°.
हल
दिया है, tan A = cot B
⇒ tan A = tan(90° – B) [∵ cot θ = tan (90° – θ)]
⇒ A = 90° – B
⇒ A + B = 90°
अत: स्पष्ट है कि tan A = cot B होने पर A + B = 90° होगा।
प्रश्न 5.
यदि sec 4A = cosec(A – 20°), जहाँ 4A एक न्यूनकोण है, तो A का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, sec 4A = cosec(A – 20°)
⇒ cosec (90° – 4A) = cosec (A – 20°) [∵ sec θ = cosec (90° – θ)]
⇒ 90° – 4A = A – 20°
⇒ A + 4A = 90° + 20°
⇒ 5A = 110°
⇒ A = 22°
अत: A का मान = 22°
प्रश्न 6.
यदि A, B और C त्रिभुज ABC के अन्तःकोण हों, तो दिखाइए कि sin(B+C2)=cosA2
हल
हम जानते हैं कि त्रिभुज के अन्तःकोणों का योग = 180°
A + B + C = 180°
⇒ (B + C) = 180° – A
प्रश्न 7.
sin 67° + cos 75° को 0° और 45° के बीच के कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपातों के पदों में व्यक्त कीजिए।
हल
दिया है, sin 67° + cos 75°
= sin (90° – 23°) + cos (90° – 15°)
= cos 23° + sin 15°
अत: sin 67° + cos 75° = cos 23° + sin 15°
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