गणित भाग 2

दो चरों वाले रैखिक समीकरण युग्म प्रश्न 1.आफ़ताब अपनी पुत्री से कहता है, ‘सात वर्ष पूर्व मैं तुमसे सात गुनी आयु का था। अब से 3 वर्ष बाद मैं तुमसे केवल तीन गुनी आयु का रह जाऊँगा।’ (क्या यह मनोरंजक है?) इस स्थिति को बीजगणितीय एवं ग्राफीय रूपों में व्यक्त कीजिए।हलमाना आफ़ताब और उसकी पुत्री […]

बहुपद बहुविकल्पीय प्रश्न प्रश्न 1.यदि द्विघात बहुपद (k – 1)x2 + kx + 1 के शून्यकों में से एक शून्यक -3 है, तो k का मान है(i) 43(ii) −43(iii) 23(iv) −23हल(i) 43 प्रश्न 2.शून्यक -3 और 4 वाला द्विघात बहुपद है(i) x2 – x + 12(ii) x2 + x + 12(iii) x22−x2−6(iv) 2×2 + 2x – 24हल(iii) x22−x2−6 प्रश्न 3.यदि द्विघात बहुपद x2 + (a + 1)x

बहुपद प्रश्न 1.सत्यापित कीजिए कि निम्न त्रिघात बहुपदों के साथ दी गई संख्याएँ उसकी शून्यक हैं। प्रत्येक स्थिति में शून्यकों और गुणांकों के बीच के सम्बन्ध को भीसत्यापित कीजिए-(i) 2×3 + x2 – 5x + 2; 12, 1, -2(ii) x3 – 4×2 + 5x – 2; 2, 1, 1हल(i) दिया है, त्रिघात बहुपद p(x) = 2×3 + x2 – 5x + 2

बहुपद प्रश्न 1.विभाजन एल्गोरिथ्म का प्रयोग करके, निम्न में p(x) को g(x) से भाग देने पर भागफल तथा शेषफल ज्ञात कीजिए-(i) p(x) = x3 – 3×2 + 5x – 3, g(x) = x2 – 2(ii) p(x) = x4 – 3×2 + 4x + 5, g(x) = x2 + 1 – x(iii) p(x) = x4 – 5x + 6, g(x) = 2 –

बहुपद प्रश्न 1.निम्न द्विघात बहुपदों के शून्यक ज्ञात कीजिए और शून्यकों तथा गुणांकों के बीच के सम्बन्ध की सत्यता की जाँच कीजिए-(i) x2 – 2x – 8(ii) 4s2 – 4s + 1(iii) 6×2 – 3 – 7x(iv) 4u2 + 8u(v) t2 – 15(vi) 3×2 – x – 4हल(i) दिया गया बहुपद = x2 – 2x – 8= x2 – (4 – 2)x –

बहुपद प्रश्न 1.किसी बहुपद p(x) के लिए, y = p(x) का ग्राफ नीचे आकृतियों में दिया है। प्रत्येक स्थिति में, p(x) के शून्यकों की संख्या ज्ञात कीजिए। हलदिया गया बहुपद = p(x)(i) बहुपद p(x) के लिए शून्यकों की संख्या 0 है क्योंकि बहुपद का ज्यामितीय आलेख X-अक्ष को प्रतिच्छेदित नहीं करता।(ii) बहुपद p(x) के लिए

वास्तविक संख्याएँ प्रश्न 1.किसी पूर्णांक m के लिए, प्रत्येक सम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है-(i) m(ii) m + 1(iii) 2m(iv) 2m + 1हल(iii) 2m प्रश्न 2.किसी पूर्णांक q के लिए, प्रत्येक विषम पूर्णांक निम्नलिखित रूप का होता है(i) q(ii) q + 1(iii) 2q(iv) 2q + 1हल(iv) 2q + 1 प्रश्न 3.संख्या n2 – 1, 8

वास्तविक संख्याएँ प्रश्न 1.बिना लम्बी विभाजन प्रक्रिया किए बताइए कि निम्नलिखित परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसार सांत हैं या असांत आवर्ती हैं-हल प्रश्न 2.प्रश्न (1) में दी गई उन परिमेय संख्याओं के दशमलव प्रसारों को लिखिए जो सांत हैं-हलसांत दशमलव प्रसार वाली परिमेय संख्याएँ- प्रश्न 3.कुछ वास्तविक संख्याओं के दशमलव प्रसार नीचे दर्शाए गए हैं।

वास्तविक संख्याएँ प्रश्न 1.सिद्ध कीजिए कि √5 एक अपरिमेय संख्या है।हलकल्पना कीजिए कि √5 अपरिमेय न होकर एक परिमेय संख्या है।तब, √5 = pq होना चाहिए जबकि q ≠ 0 तथा p व q पूर्ण संख्याएँ हैं।माना p और q में 1 के अतिरिक्त कोई अभाज्य गुणनखण्ड सार्वनिष्ठ नहीं है।अब, √5 = pqp = √5qदोनों पक्षों का वर्ग

 वास्तविक संख्याएँ प्रश्न 1.निम्नलिखित संख्याओं को अभाज्य गुणनखण्डों के गुणनफल के रूप में व्यक्त कीजिए-(i) 140(ii) 156(iii) 3825(iv) 5005(v) 7429हल(i) 140 = 2 × 2 × 5 × 7 = (2)2 × 5 × 7अत: 140 = 22 × 5 × 7 (ii) 156 = 2 × 2 × 3 × 13 = (2)2 × 3 × 13अत: