Chapter 4 - द्विघात समीकरण (Ex - 4.2)

द्विघात समीकरण

प्रश्न 1.
गुणनखण्ड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :
(i) x² – 3x – 10 = 0
(ii) 2x² + x – 6 = 0
(iii) √2x² + 7x + 5√2 = 0
(iv) 2x² – x + 18 = 0
(v) 100x² – 20x + 1 = 0
हल
(i) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
x² – 3x – 10 = 0
⇒ x² – (5 – 2)x – 10 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 5x + 2x – 10 = 0
⇒ x(x – 5) + 2(x – 5) = 0
⇒ (x – 5) (x + 2) = 0
यदि x – 5 = 0, तो x = 0 + 5 ⇒ x = 5
और यदि x + 2 = 0, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
अत: द्विघात समीकरण के मूल = 5, -2

(ii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² + x – 6 = 0
⇒ 2x² + (4 – 3)x – 6 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 4x – 3x – 6 = 0
⇒ 2x(x + 2) – 3(x + 2) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
⇒ (x + 2) (2x – 3) = 0
यदि x + 2 = 0 हो, तो x = 0 – 2 ⇒ x = -2
और यदि 2x – 3 = 0 हो, तो 2x = 0 + 3 ⇒ 2x = 3 या x = 32
अत: द्विघात समीकरण के मूल = -2, 32

(iii) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
√2x² + 7x + 5√2 = 0
⇒ √2x² + (5 + 2)x + 5√2 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ √2x² + 5x + 2x + 5√2 = 0
⇒ (√2x² + 5x) (2x + 5√2) = 0
⇒ x(√2x + 5) + √2(√2x + 5) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
⇒ (√2x + 5) (x + √2) = 0
यदि √2x + 5 = 0 हो, तो √2x = 0 – 5 या x = −52√ और
यदि x + √2 = 0 हो, तो x = -√2
अतः द्विघात समीकरण के मूल = −52√, -√2

(iv) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
2x² – x + 18 = 0
⇒ 16x² – 8x + 1 = 0 [दोनों पक्षों को 8 से गुणा करने पर]
⇒ (4x)² – 2 × 4x × 1 + (1)² = 0 [पूर्ण वर्ग बनाने पर]
⇒ (4x – 1)² = 0 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ (4x – 1) (4x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 4x – 1 = 0 ⇒ x = 14
अतः द्विघात समीकरण के मूल = 14, 14

(v) दिया हुआ द्विघात समीकरण :
100x² – 20x + 1 = 0
⇒ 100x² – (10 + 10)x + 1 = 0 [ मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 100x² – 10x – 10x + 1 = 0
⇒ 10x(10x – 1) – 1 (10x – 1) = 0
⇒ (10x – 1) (10x – 1) = 0
प्रत्येक स्थिति में 10x – 1 = 0
⇒ x = 110
अतः द्विघात समीकरण के मूल = 110, 110

(ii) माना उस दिन निर्मित खिलौनों की संख्या x है।
प्रश्नानुसार, प्रत्येक खिलौने का मूल्य = ₹ (55 – x)
उस दिन निर्मित सभी x खिलौनों की लागत = ₹ x(55 – x) = ₹ (55x – x²)
परन्तु उस दिन की निर्माण लागत = ₹ 750
55x – x² = 750
⇒ 55x – x² – 750 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – 55x + 750 = 0
⇒ x² – (25 + 30)x + 750 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x² – 25x – 30x + 750 = 0
⇒ x(x – 25) – 30(x – 25) = 0
⇒ (x – 25) (x – 30) = 0
यदि x – 25 = 0, तो x = 25
और यदि x – 30 = 0 तो x = 30
अतः निर्माण किए गए खिलौनों की संख्या = 25 या 30

प्रश्न 3.
ऐसी दो संख्याएँ ज्ञात कीजिए, जिनका योग 27 हो और गुणनफल 182 हो।
हल
माना एक संख्या x है।
दूसरी संख्या = (27 – x) होगी।
तब संख्याओं का गुणनफल = x(27 – x) = 27x – x²
परन्तु दो संख्याओं का गुणनफल = 182
182 = 27x – x²
⇒ x² – 27x + 182 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ x² – (14 + 13)x + 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² – 14x – 13x + 182 = 0
⇒ x(x – 14) – 13(x – 14) = 0
⇒ (x – 14) (x – 13) = 0
यदि x – 14 = 0, तो x = 14
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
पहली संख्या = 14 अथवा 13
यदि पहली संख्या 14 तो दूसरी 13 होगी; और पहली संख्या 13 तो दूसरी 14 होगी।
अत: अभीष्ट संख्याएँ = (14, 13) अथवा (13, 14)

प्रश्न 4.
दो क्रमागत धनात्मक पूर्णांक ज्ञात कीजिए जिनके वर्गों का योग 365 हो।
हल
माना दो क्रमागत धन पूर्णांक x तथा x + 1 हैं।
प्रश्नानुसार, पूर्णांकों के वर्गों का योग 365 है।
x² + (x + 1)² = 365
⇒ x² + x² + 2x + 1 = 365 [∵ (a + b)² = a² + 2ab + b²]
⇒ 2x² + 2x + 1 – 365 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + 2x – 364 = 0
⇒ 2(x² + x – 182) = 0
⇒ x² + x – 182 = 0
⇒ x² + (14 – 13)x – 182 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ x² + 14x – 13x – 182 = 0
⇒ x(x + 14) – 13(x + 14) = 0
⇒ (x + 14) (x – 13) = 0
यदि x + 14 = 0, तो x = -14;
और यदि x – 13 = 0, तो x = 13
परन्तु x एक धन पूर्णांक है। इसलिए x का मान -14 स्वीकार्य नहीं है, तब x = 13
अत: पहला पूर्णांक = 13 और अगला धन पूर्णांक = 13 + 1 = 14

प्रश्न 5.
एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई इसके आधार से 7 cm कम है। यदि कर्ण 13 cm का हो तो अन्य दो भुजाएँ ज्ञात कीजिए।
हल
माना समकोण त्रिभुज की आधार भुजा x cm है
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई आधार से 7 cm कम है।
समकोण त्रिभुज की ऊँचाई या लम्ब भुजा = (x – 7) cm
तब, पाइथागोरस प्रमेय से,
(लम्ब)² + (आधार)² = (कर्ण)²
⇒ (x – 7)² + x² = (13)² [∵ दिया है, कर्ण = 13 cm]
⇒ x² – 14x + 49 + x² = 169 [∵ (a – b)² = a² – 2ab + b²]
⇒ 2x² – 14x + 49 – 169 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² – 14x – 120 = 0
⇒ 2(x² – 7x – 60) = 0
⇒ x² – 7x – 60 = 0
⇒ x² – (12 – 5)x – 60 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से ]
⇒ x² – 12x + 5x – 60 = 0
⇒ (x² – 12x) + (5x – 60) = 0
⇒ x(x – 12) + 5 (x – 12) = 0
⇒ (x – 12) (x + 5) = 0
यदि x – 12 = 0, तो x = 12
और यदि (x + 5) = 0, तो x = -5
परन्तु भुजा x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं हो सकता जिससे x = 12
तब, ऊँचाई या लम्ब भुजा = x – 7 = 12 – 7 = 5 cm
अत: त्रिभुज की अन्य दो भुजाएँ = 5 cm व 12 cm

प्रश्न 6.
एक कुटीर उद्योग एक दिन में कुछ बर्तनों का निर्माण करता है। एक विशेष दिन यह देखा गया कि प्रत्येक नग की निर्माण लागत (₹ में) उस दिन के निर्माण किए बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी। यदि उस दिन की कुल निर्माण लागत ₹ 90 थी, तो निर्मित बर्तनों की संख्या और प्रत्येक नग की लागत ज्ञात कीजिए।
हल
माना उस विशेष दिन में निर्मित बर्तनों की संख्या x थी।
प्रत्येक नग की लागत निर्मित बर्तनों की संख्या के दुगुने से 3 अधिक थी।
प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
तब उस दिन निर्मित सभी बर्तनों की लागत = ₹x × (2x + 3) = ₹ (2x² + 3x)
प्रश्नानुसार, उस दिन की कुल निर्माण लागत = ₹ 90
⇒ 2x² + 3x = 90
⇒ 2x² + 3x – 90 = 0 [पक्षान्तरण से]
⇒ 2x² + (15 – 12)x – 90 = 0 [मध्यपद के विखण्डन से]
⇒ 2x² + 15x – 12x – 90 = 0
⇒ x(2x + 15) – 6(2x + 15) = 0
⇒ (2x + 15)(x – 6) = 0
यदि x – 6 = 0, तो x = 6
और यदि 2x + 15 = 0 हो, तो x = −152
बर्तनों की संख्या x ऋणात्मक नहीं हो सकती जिससे x का ऋणात्मक मान स्वीकार्य नहीं है।
अत: x = 6 अर्थात् निर्मित बर्तनों की संख्या = 6
तब, प्रत्येक नग की लागत = ₹ (2x + 3)
= ₹ (2 × 6) + 3
= ₹(12 + 3)
= ₹15
अत: निर्मित बर्तनों की संख्या 6 तथा प्रत्येक नग की लागत ₹ 15 है।