Chapter 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Ex - 13.2)

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।)

प्रश्न 1.
एक ठोस एक अर्द्धगोले पर खड़े एक शंकु के आकार का है जिनकी त्रिज्याएँ 1 cm हैं तथा शंक की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के बराबर है। इस ठोस का आयतन π के पदों में ज्ञात कीजिए।
हल

दिया है, एक ठोस, एक अर्द्धगोले व एक शंकु के संयोजन से बना है।
अर्द्धगोले की त्रिज्या = शंकु की त्रिज्या = 1 cm और
शंकु की ऊँचाई = शंकु की त्रिज्या = 1 cm
अर्द्धगोले का आयतन = 1/2×4/3πr³
= 1/2×4/3π×(1)³
= 2/3 π cm³
शंक्वाकार भाग का आयतन = 1/3 πr²h
= 1/3 π(1)² × 1
= 1/3 π cm³
ठोस का आयतन = अर्द्धगोले का आयतन + शंक्वाकार भाग का आयतन
= (2/3π+1/3π)
= π cm³
अतः ठोस का आयतन = π cm³

प्रश्न 2.
एक इंजीनियरिंग के विद्यार्थी रचेल से एक पतली एल्यूमीनियम की शीट का प्रयोग करते हुए एक मॉडल बनाने को कहा गया जो एक ऐसे बेलन के आकार का हो जिसके दोनों सिरों पर दो शंकु जुड़े हुए हों। इस मॉडल का व्यास 3 cm है और इसकी लम्बाई 12 cm है। यदि प्रत्येक शंकु की ऊँचाई 2 cm हो तो रचेल द्वारा बनाए गए मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन ज्ञात कीजिए। (यह मान लीजिए कि मॉडल की आन्तरिक और बाहरी विमाएँ लगभग बराबर हैं)
हल

दिया है, मॉडल एक बेलन व दो शंकुओं के संयोजन से बना है।
मॉडल का व्यास = 3 cm
शंकु की त्रिज्या = बेलन के आधार की त्रिज्या (r) = 3/2 cm
प्रत्येक शंकु की ऊँचाई (h) = 2 cm
मॉडल की कुल लम्बाई = 12 cm
माना बेलन की ऊँचाई = H cm
मॉडल की कुल ऊँचाई = प्रत्येक शंकु की ऊँचाई + बेलन की ऊँचाई
⇒ 12 = 2h + H
⇒ 12 = 2 × 2 + H
⇒ H = 12 – 4 = 8 cm
तब, बेलन का आयतन = πr²H = π × (3/2)² × 8 = 18π cm³
दोनों शंक्वाकार भागों का आयतन = 2×(1/3)πr²h
= 2/3π×3/2×3/2×2
= 3π cm³
सम्पूर्ण मॉडल का आयतन = 18π + 3π = 21π cm³
= 21 × 22/7
= 66 cm³
अतः मॉडल में अन्तर्विष्ट हवा का आयतन = 66 cm³

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में एक गुलाबजामुन में उसके आयतन की लगभग 30% चीनी की चाशनी होती है। 45 गुलाबजामुनों में लगभग कितनी चाशनी होगी, यदि प्रत्येक गुलाबजामुन एक बेलन के आकार का है, जिसके दोनों सिरे अर्द्धगोलाकार हैं तथा इसकी लम्बाई 5 cm और व्यास 2.8 cm है।

हल

दिया है, एक गुलाबजामुन एक बेलन व दो अर्द्ध गोलों के संयोजन से बनी है।
गुलाबजामुन की सम्पूर्ण लम्बाई = 5 cm
तथा गुलाबजामुन का व्यास = 2.8 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या = दोनों अर्द्धगोलों की त्रिज्या (r) = 2.8/2 = 1.4 cm
बेलनाकार भाग की लम्बाई = 5 – (1.4 + 1.4) = 2.2 cm
गुलाबजामुन के दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन = 2x
= 2×1/2×4/3πr³
= 2×2/3πr³
= 2×2/3×22/7×(1.4)³
= 34.496/3
= 11.499 cm³ (लगभग)
गुलाबजामुन के बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= 22/7 × (1.4) × (1.4) × (5 – 1.4 – 1.4)
= 22/7 × 1.4 × 1.4 × 2.2
= 13.552 cm³
1 गुलाबजामुन का आयतन = दोनों अर्द्धगोलाकार भागों का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन
= (11.499 + 13.552) cm³
= 25.051 cm³
45 गुलाबजामुनों का आयतन = 45 × 25.051 = 1127.295 cm³
45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 45 गुलाब जामुनों के आयतन का 30%
= 1127.295 का 30%
= 1127.295×30/100
= 338.1885
≅ 338 cm³
अत: 45 गुलाबजामुनों में चाशनी का आयतन = 338 cm³

प्रश्न 4.
संलग्न चित्र में एक कलमदान घनाभ के आकार की एक लकड़ी से बना है जिसमें कलम रखने के लिए चार शंक्वाकार गड्ढे बने हुए हैं। घनाभ की विमाएँ 15 cm × 10 cm × 3.5 cm हैं। प्रत्येक गड्ढे की त्रिज्या 0.5 cm है और गहराई 1.4 cm है। पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, घनाभ की लम्बाई (l) = 15 cm
घनाभ की चौड़ाई (b) = 10 cm
घनाभ की ऊँचाई (h) = 3.5 cm
घनाभ का आयतन = 15 cm × 10 cm × 3.5 cm = 525 cm³
शंक्वाकार गड्ढे की त्रिज्या (r) = 0.5 cm
तथा शंक्वाकार गड्ढे की गहराई (h) = 1.4 cm
प्रत्येक शंक्वाकार गड्ढे का आयतन = 1/3πr²h
= 1/3×22/7×0.5×0.5×1.4
= 1.13 cm³
चारों शंक्वाकार गड्ढों का आयतन = 4 × 1.1/3
= 4.4/3
= 1.467 cm³
कलमदान में लगी लकड़ी का आयतन = घनाभ का आयतन – 4 गड्ढों का आयतन
= (525 – 1.467) cm³
= 523.533 cm³
अत: पूरे कलमदान में लकड़ी का आयतन = 523.533 cm³

प्रश्न 5.
एक बर्तन एक उल्टे शंकु के आकार का है। इसकी ऊँचाई 8 cm है और इसके ऊपरी सिरे (जो खुला हुआ है) की त्रिज्या 5 cm है। यह ऊपर तक पानी से भरा हुआ है। जब इस बर्तन में सीसे की कुछ गोलियाँ जिनमें प्रत्येक 0.5 cm त्रिज्या वाला एक गोला है, डाली जाती हैं तो इसमें से भरे हुए पानी का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है। बर्तन में डाली गई सीसे की गोलियों की संख्या ज्ञात कीजिए।
हल

शंक्वाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 5 cm
तथा शंक्वाकार बर्तन की ऊँचाई (h) = 8 cm
शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन = 1/3πr²h
= 1/3×π×(5)²×8
= 200/3π cm³
सीसे की गोलियाँ डालने से 1/4 भाग पानी बाहर निकलता है।
सीसे की गोलियों द्वारा विस्थापित अथवा बाहर निकले पानी का आयतन = 1/4 × शंक्वाकार बर्तन में भरे पानी का आयतन
= 1/4×200/3π
= 50/3π cm³

अत: बर्तन में डाली गई गोलियों की संख्या = 100

प्रश्न 6.
ऊँचाई 220 cm और आधार व्यास 24 cm वाले एक बेलन, जिस पर ऊँचाई 60 cm और त्रिज्या 8 cm वाला एक अन्य बेलन आरोपित है, से लोहे का एक स्तम्भ बना है। इस स्तम्भ का द्रव्यमान ज्ञात कीजिए, जबकि दिया है 1 cm³ लोहे का द्रव्यमान लगभग 8g होता है। (π = 3.14 लीजिए)
हल
यहाँ, दिया गया ठोस दो बेलनों के संयोजन से बना है।
एक बेलन का व्यास = 24 cm
पहले बेलन की त्रिज्या (r) = 12 cm
तथा पहले बेलन की ऊँचाई (h) = 220 cm
पहले बेलन का आयतन = πr²h
= π × (12)² × 220
= 31680π cm³
दूसरे बेलन की त्रिज्या (R) = 8 cm तथा ऊँचाई (H) = 60 cm
दूसरे बेलन का आयतन = πR²H
= π × (8)² × 60
= 3840π cm³
सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन = (31680π + 3840π) cm³
= 35520π
= 35520 × 3.14 cm³
= 111532.8 cm³
बेलनाकार स्तम्भ का द्रव्यमान = सम्पूर्ण स्तम्भ का आयतन × 1 cm³ लोहे का भार
= 111532.8 × 8g
= 892262.4 g
= 892262.4/1000 kg
= 892.2624 kg
= 892.26 kg
अत: स्तम्भ का द्रव्यमान = 892.26 kg

प्रश्न 7.
एक ठोस में, ऊँचाई 120 cm और त्रिज्या 60 cm वाला एक शंकु सम्मिलित है, जो 60 cm त्रिज्या वाले एक अर्द्धगोले पर आरोपित है। इस ठोस को पानी से भरे हुए एक लम्बवृत्तीय बेलन में इस प्रकार सीधा डाल दिया जाता है कि यह बेलन की तली को स्पर्श करे। यदि बेलन की त्रिज्या 60 cm है और ऊँचाई 180 cm है तो बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ज्ञात कीजिए।
हल

यहाँ, ठोस एक शंकु व एक अर्द्धगोले के संयोजन से बना है और इसे लम्बवृत्तीय बेलन में सीधा डाला गया है जो कि बेलन की तली को स्पर्श करता है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 60 cm
तथा बेलन की ऊँचाई (H) = 180 cm
लम्बवृत्तीय बेलन में भरे पानी का आयतन = πr²h
= π × (60)² × 180
= 648000π cm³
दिया है, शंकु की त्रिज्या (R) = 60 cm
तथा शंकु की ऊँचाई (H) = 120 cm
शंकु का आयतन = 1/3 πr²H
= 1/3 π × 60 × 60 × 120
= 144000π cm³
अर्द्धगोले का आयतन = 2/3πr³
= 2/3π(60)³ cm³
= 144000π cm³
शंकु और अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = शंकु का आयतन + अर्द्धगोले का आयतन
= (144000 +144000) π cm³
= 288000 π cm³
ठोस द्वारा विस्थापित (हटाए गए) पानी का आयतन = शंकु तथा अर्द्धगोले से अध्यारोपित ठोस का आयतन = 288000π cm³
शेष बचे पानी का आयतन = (648000π – 288000π) cm³
= 360000π cm³
= 360000 × 22/7 cm³
= 1131428.57 cm³
= 1131428.57/1000000 m³
≅ 1.131 m³
अत: बेलन में शेष बचे पानी का आयतन ≅ 1.131 m³

प्रश्न 8.
एक गोलाकार काँच के बर्तन की एक बेलन के आकार की गर्दन है जिसकी लम्बाई 8 cm और व्यास 2 cm है जबकि गोलाकार भाग का व्यास 8.5 cm है। इसमें भरे जा सकने वाली पानी की मात्रा मापकर, एक बच्चे ने यह ज्ञात किया कि इस बर्तन का आयतन 345 cm³ है। जाँच कीजिए कि उस बच्चे का उत्तर सही है या नहीं, यह मानते हुए कि उपर्युक्त मापन आन्तरिक मापन है और π = 3.14
हल

दिया है, बेलनाकार भाग का व्यास = 2 cm
बेलनाकार भाग की त्रिज्या (r) = व्यास 2=2/2 = 1 cm
तथा बेलनाकार भाग की ऊँचाई (h) = 8 cm
बेलनाकार भाग का आयतन = πr²h
= π × (1)² × 8
= 8π cm³
गोलाकार भाग का व्यास = 8.5 cm = 17/2 cm
गोलाकार भाग की त्रिज्या = 1/2×17/2=17/4 cm
गोलाकार भाग का आयतन

बर्तन का आयतन = गोलाकार भाग का आयतन + बेलनाकार भाग का आयतन