Chapter 13 - पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन (Ex - 13.3)

पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन

(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 लीजिए।)

प्रश्न 1.
त्रिज्या 4.2 cm वाले धातु के एक गोले को पिघलाकर त्रिज्या 6 cm वाले एक बेलन के रूप में ढाला जाता है। बेलन की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
गोले की त्रिज्या (R) = 4.2 cm
गोले का आयतन = 4/3 πR³
= 4/3 π(4.2)³
= 4/3 π × 4.2 × 4.2 × 4.2
= 98.784π cm³
माना बेलन की ऊँचाई h cm है।
बेलन की त्रिज्या (r) = 6 cm
(दिया है) बेलन का आयतन = πr²h = π × (6)² × h = 36πh cm³
चूँकि गोले को पिघलाकर एक बेलन बनाया जाता है, इसलिए बेलन का आयतन, इस प्रकार बने गोले के आयतन के बराबर होगा।
बेलन का आयतन = गोले का आयतन
36πh = 98.784π
⇒ h = 98.784π/36π = 2.744 cm
अतः बेलन की ऊँचाई = 2.744 cm (लगभग)।

प्रश्न 2.
क्रमश: 6 cm, 8 cm और 10 cm त्रिज्याओं वाले धातु के तीन ठोस गोलों को पिघलाकर एक बड़ा ठोस गोला बनाया जाता है। इस गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
हल
माना तीन ठोस गोलों की त्रिज्याएँ
r₁ = 6 cm, r₂ = 8 cm व r₃ = 10 cm हैं।

तीनों गोलों को पिघलाकर एक बड़ा गोला बनाया जाता है।
बड़े गोले का आयतन = तीनों गोलों का कुल आयतन = 2304π cm³
माना बड़े गोले की त्रिज्या R है।
तब, बड़े गोले का आयतन = 4/3 πR³
4/3 πR³ = 2304π
⇒ R³ = (2304×3)/4 = 1728
⇒ R³ = (12)³
⇒ R = 12
अत: बड़े गोले की त्रिज्या 12 cm है।

प्रश्न 3.
व्यास 7 m वाला 20 m गहरा एक कुँआ खोदा जाता है और खोदने से निकली हुई मिट्टी को समान रूप से फैलाकर 22 m × 14 m वाला एक चबूतरा बनाया गया है। इस चबूतरे की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 7 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = 7/2 m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 20 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= 22/7×7/2×7/2×20
= 770 cm³
माना चबूतरे की ऊँचाई h m है।
चबूतरे का आयतन = 22 × 14 × h cm³
22 × 14 × h = 770
⇒ h = 770/ (22×14) = 2.5 m
अत: चबूतरे की ऊँचाई 2.5 m है।

प्रश्न 4.
व्यास 3 m का एक कुआँ 14 m की गहराई तक खोदा जाता है। इससे निकली हुई मिट्टी को कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ी एक वृत्ताकार वलय (ring) बनाते हुए, समान रूप से फैलाकर एक प्रकार का बाँध बनाया जाता है। इस बाँध की ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, कुएँ का व्यास = 3 m
कुएँ की त्रिज्या (r) = 3/2 m
तथा कुएँ की गहराई (h) = 14 m
कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन = πr²h
= 22/7×3/2×3/2×14
= 99 m³
कुएँ की त्रिज्या = 3/2 m है और कुएँ के चारों ओर 4 m चौड़ा वलयाकार चबूतरा बनाया जाता है।
कुएँ की बाहरी त्रिज्या (r₁) = 3/2 + 4 = 11/2 m
तथा भीतरी त्रिज्या (r₂) = 3/2 m
वलयाकार चबूतरे का क्षेत्रफल
माना बाँध की ऊँचाई h m है।
तब, बाँध की मिट्टी का आयतन = 88 × h m³
बाँध की मिट्टी का आयतन = कुएँ से निकली मिट्टी का आयतन
88h = 99
h = 99/88=9/8 = 1.125 m
अत: बाँध की ऊँचाई = 1.125 m

प्रश्न 5.
व्यास 12 cm और ऊँचाई 15 cm वाले एक लम्बवृत्तीय बेलन के आकार का बर्तन आइसक्रीम से पूरा भरा हुआ है। इस आइसक्रीम को ऊँचाई 12 cm और व्यास 6 cm वाले शंकुओं में भरा जाना है, जिनका ऊपरी सिरा अर्द्धगोलाकार होगा। उन शंकुओं की संख्या ज्ञात कीजिए जो इस आइसक्रीम से भरे जा सकते हैं।
हल
दिया है, बेलनाकार बर्तन का व्यास = 12 cm
बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या (r) = 6 cm तथा बर्तन की ऊँचाई (h) = 15 cm
तब, बेलनाकार बर्तन का आयतन = πr²h = π × (6)² × 15 = 540π cm³
आइसक्रीम का कुल आयतन = बेलनाकार वर्तन का आयतन = 540π cm³
शंकु की त्रिज्या (r’) = 6/2 = 3 cm तथा ऊँचाई (h’) = 12 cm
शंकु का आयतन = 1/3πr²h′
= 1/3 × π × (3)² × 12
= 36π cm³
शंकु के मुँह पर अर्द्धगोलाकार आइसक्रीम का आयतन = 2/3πr³
= 2/3 π × (3)³
= 18π cm³
आइसक्रीम से भरे शंकु का आयतन = (36π + 18π) = 54π cm³

अत: आइसक्रीम द्वारा भरे जाने वाले शंकुओं की संख्या = 10.

प्रश्न 6.
विमाओं 5.5 cm × 10 cm × 3.5 cm वाला एक घनाभ बनाने के लिए 1.75 cm व्यास और 2 mm मोटाई वाले कितने चाँदी के सिक्कों को पिघलाना पडेगा?
हल
माना चाँदी के n सिक्के पिघलाने पड़ेंगे।
प्रत्येक सिक्के का व्यास = 1.75 cm
175 प्रत्येक सिक्के की त्रिज्या (r) = 1.75/2cm=175/200cm=7/8cm
और प्रत्येक सिक्के की ऊँचाई (h) = 2 mm = 2/10cm=1/5cm
प्रत्येक सिक्के का आयतन = πr²h
= 22/7×7/8×7/8×1/5
= 77/160 cm³
n सिक्कों का आयतन = 77/160 n cm³
घनाभ का आयतन = 5.5 × 10 × 3.5 cm³ = 192.5 cm³
चाँदी का घनाभ चाँदी के सिक्कों को पिघलाकर बनाया गया है।
सिक्कों का आयतन = घनाभ का आयतन
⇒ 77/160 n = 192.5
⇒ n = 192.5×160/77 = 400
अत: चाँदी के सिक्कों की संख्या = 400

प्रश्न 7.
32 cm ऊँची और आधार त्रिज्या 18 cm वाली एक बेलनाकार बाल्टी रेत से भरी हुई है। इस बाल्टी को भूमि पर खाली किया जाता है और इस रेत की एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है। यदि शंक्वाकार ढेरी की ऊँचाई 24 cm है तो इस ढेरी की त्रिज्या और तिर्यक ऊँचाई ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, बेलनाकार बाल्टी के आधार की त्रिज्या (r) = 18 cm
तथा बाल्टी की ऊँचाई (h) = 32 cm
बाल्टी रेत से भरी हुई है।
रेत का आयतन = बेलनाकार बाल्टी का आयतन = πr²h
= π × 18 × 18 × 32 cm³
= 10368π cm³
इस रेत से एक शंक्वाकार ढेरी बनाई जाती है जिसकी ऊँचाई (H) = 24 cm है।
माना शंक्वाकार ढेरी की त्रिज्या R cm है।
शंक्वाकार ढेरी का आयतन = 1/3πR²H
= 1/3πR² × 24
= 8πR² cm³
यह दोनों आयतन बराबर हैं।

अत: ढेरी की त्रिज्या = 36 cm
तथा तिर्यक ऊँचाई = 12√13 cm या 43.27 cm (लगभग)।

प्रश्न 8.
6 m चौड़ी और 1.5 m गहरी एक नहर में पानी 10 km/h की चाल से बह रहा है। 30 मिनट में, यह नहर कितने क्षेत्रफल की सिंचाई कर पाएगी, जबकि सिंचाई के लिए 8 cm गहरे पानी की आवश्यकता होती है?
हल
नहर में पानी की चाल = 10 km/h
= (10×1000)/60 m/min
= 500/3 m/min
नहर की चौड़ाई = 6 m तथा गहराई = 1.5 m (दिया है)
तब, 6 m × 1.5 m × 500/3 m विमाओं वाले घनाभ के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगी।
30 मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = 30 × 6 × 1.5 × 500/3 = 45000 m³
यदि सिंचाई के लिए 8 cm या 8/100 m गहरे पानी की आवश्यकता है, तो
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल × 8/100 = 45000 m³
सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (45000×100)/8 = 562500 m²
अत: नहर द्वारा 30 मिनट में सिंचित क्षेत्र का क्षेत्रफल = 562500 m²

प्रश्न 9.
एक किसान अपने खेत में बनी 10 m व्यास वाली और 2 m गहरी एक बेलनाकार टंकी को, आन्तरिक व्यास 20 cm वाले एक पाइप द्वारा एक नहर से जोड़ता है। यदि पाइप में पानी 3 km/h की चाल से बह रहा है तो कितने समय बाद टंकी परी भर जाएगी?
हल
दिया है, टंकी का व्यास = 10 m
टंकी की त्रिज्या (r) = 5 m
टंकी की गहराई (h) = 2 m
बेलनाकार टंकी का आयतन = πr²h = π × (5)² × 2 = 50π m³
पाइप का व्यास = 20 cm
पाइप की त्रिज्या (R) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m
पाइप में पानी की चाल = 3 km/h
= (3×1000)/60 m/min
= 50 m/min
तब, पाइप टंकी में 1/10 m त्रिज्या और 50 m लम्बाई के बेलन के आयतन के बराबर पानी प्रति मिनट स्थानान्तरित करेगा।
यदि टंकी को भरने में n मिनट का समय लगता हो, तो
n मिनट में स्थानान्तरित पानी का आयतन = बेलनाकार टंकी का आयतन