Chapter 11 - रचनाएँ (Additional Questions)

रचनाएँ

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक रेखाखण्ड AB को p : q के अनुपात में विभाजित करने के लिए (यहाँ p और q धनात्मक पूर्णांक हैं), एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो। फिर किरण AX पर समान दूरियों पर इतने बिन्दु अंकित कीजिए कि इन बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या हो।
(i) p और q में से बड़ी
(ii) p + q
(iii) p + q – 1
(iv) pq
हल
(ii) p + q

प्रश्न 2.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच का कोण 35° हो, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए, जिनके बीच का कोण हो
(i) 105°
(ii) 70°
(iii) 140°
(iv) 145°
हल
(iv) 145°

प्रश्न 3.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX खींचिए, ताकि ∠BAX एक न्यून कोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु अंकित किये जाएँ ताकि इनकी न्यूनतम संख्या हो
(i) 8
(ii) 10
(iii) 11
(iv) 12
हल
(iv) 12

प्रश्न 4.
एक रेखाखण्ड AB को 4 : 7 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, पहले एक किरण AX इस प्रकार खींची जाती है कि ∠BAX एक न्यूनकोण हो और फिर किरण AX पर समान दूरियों पर बिन्दु, A₁, A₂, A₃,…. अंकित किए जाते हैं और बिन्दु B को निम्नलिखित से मिलाया जाता है
(i) A₁₂
(ii) A₁₁
(iii) A₁₀
(iv) A₉
हल
(ii) A₁₁

प्रश्न 5.
एक रेखाखण्ड AB को 5 : 6 के अनुपात में विभाजित करने के लिए, एक किरण AX खींचिए ताकि ∠BAX एक न्यूनकोण हो, फिर BY किरण AX के समांतर विपरीत दिशा में खींचिए। इसके बाद AX और BY किरणों पर क्रमशः समान दूरियों पर बिन्दु A₁, A₂, A₃, …और B₁, B₂, B₃,… अंकित किए जाएँ। फिर जिन बिन्दुओं को मिलाया जाता है वे हैं
(i) A₅ और B₆
(ii) A₆ और B₅
(iii) A₄ और B₅
(iv) A₅ और B₄
हल
(i) A₅ और B₆

प्रश्न 6.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 37 हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर बिन्दु B₁, B₂, B₃,… अंकित कीजिए तथा उसके बाद अगला चरण मिलाने का है
(i) B₁₀ को C से
(ii) B₃ को C से
(iii) B₇ को C से
(iv) B₄ को C से
हल
(iii) B₇ को C से

प्रश्न 7.
एक दिए हुए त्रिभुज ABC के समरूप एक ऐसा त्रिभुज बनाने के लिए जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं का 85 हों, पहले एक किरण BX ऐसी खींचिए कि ∠CBX एक न्यून कोण हो और X भुजा BC के सापेक्ष A के विपरीत ओर हो। किरण BX पर अब समान दूरियों पर अंकित किए जाने वाले बिन्दुओं की न्यूनतम संख्या है
(i) 5
(ii) 8
(iii) 13
(iv) 3
हल
(ii) 8

प्रश्न 8.
किसी वृत्त पर स्पर्श रेखाओं का एक ऐसा युग्म खींचने के लिए कि उनके बीच कोण 60° हों, उन दो त्रिज्याओं के सिरों पर स्पर्श रेखाएँ खींचनी चाहिए जिनके बीच का कोण हो
(i) 135°
(ii) 90°
(iii) 60°
(iv) 120°
हल
(iv) 120°

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3.0 cm त्रिज्या के वृत्त के किसी बिन्दु P पर स्पर्श रेखा खींचिए।
या
6.0 cm व्यास के एक वृत्त की रचना कीजिए और वृत्त के किसी बिन्दु पर स्पर्शरेखा खींचिए और रचना-विधि लिखिए।
हल
दिया है : एक वृत्त जिसका केन्द्र O तथा व्यास 6.0 cm है।
रचना करनी है : वृत्त के बिन्दु P पर वृत्त की स्पर्शरेखा की

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम O को केन्द्र मानकर 6.02 = 3.0 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और वृत्त पर कोई बिन्दु P लिया।
2. O को P से मिलाया।
3. बिन्दु P पर PQ ⊥ OP खींचा।
AB वृत्त के बिन्दु A पर अभीष्ट स्पर्श रेखा है। यही रचना करनी थी।

प्रश्न 2.
ऐसे वृत्त की रचना कीजिए, जिसकी त्रिज्या 3.5 cm तथा जो 5 cm दूरी पर स्थित बिन्दुओं A और B से होकर जाता है।
हल
दिया है : 5 cm दूर स्थित दो बिन्दु A और B हैं।
रचना करनी है : 3.5 cm त्रिज्या के वृत्त की जो A और B बिन्दुओं से होकर जाता है।

रचना विधि :
1. AB का लम्ब समद्विभाजक OM खींचा जो AB को बिन्दु M पर काटता है।
2. A को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक चाप खींचा जो OM को बिन्दु O पर काटता है।
3. O को केन्द्र मानकर तथा 3.5 cm त्रिज्या लेकर एक वृत्त खींचा जो A और B से होकर जाता है।
यही रचना करनी थी।

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में AB, AC और PQ वृत्त O की स्पर्श रेखाएँ हैं। यदि AB = 5 cm, ∆APQ का परिमाप ज्ञात कीजिए।
हल
किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।

AB = AC = 5 cm
इसी प्रकार, PB = PX, QC = QX
त्रिभुज का परिमाप = AP + PQ + QA
= AP + PX + XQ + AQ
= AP + PB + QC + QA
= AB + AC
= 5 + 5
= 10 cm

प्रश्न 2.
संलग्न चित्र में AQ, AR तथा BC वृत्त के क्रमशः Q, R तथा P बिन्दुओं पर खींची गई स्पर्शियाँ हैं यदि AR = 8 cm है तो ∆ABC का परिमाप ज्ञात कीजिए। हल

किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई स्पर्शियाँ लम्बाई में बराबर होती हैं।
अतः AQ = AR = 8 cm
इसी प्रकार, CP = CR तथा BP = BQ
त्रिभुज का परिमाप = AB + BC + CA
= AB + (BP + PC) + CA
= AB + BQ + CR + AC
= AQ + AR
= 8 + 8
= 16 cm

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
3 cm त्रिज्या का एक वृत्त खींचिए। वृत्त के केन्द्र से 5 cm दूर स्थित एक बिन्दु से वृत्त पर स्पर्श रेखा युग्म की रचना कीजिए और उनकी लम्बाई मापिए।
हल
रचना विधि :
1. सर्वप्रथम 5 cm लम्बाई का रेखाखण्ड OP खींचा।
2. बिन्दु O को केन्द्र मानकर 3 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OP का लम्बार्धक खींचा जो इसे बिन्दु M पर काटता है।
4. बिन्दु M को केन्द्र मानकर OM त्रिज्या का एक वृत्त खींचा जो केन्द्र O के दिए हुए वृत्त को A और B बिन्दुओं पर काटता है।
5. PA तथा PB को मिलाया जो वृत्त की अभीष्ट स्पर्श रेखाएँ हैं।

उपपत्ति : रेखाखण्ड OA खींचा।
∵ M, OP का मध्य-बिन्दु है जिससे OP व्यास है।
तब, वृत्त OAPB में, ∠OAP, अर्द्धवृत्त OAPO में स्थित है।
∴ ∠OAP = 90°
और OA त्रिज्या है।
तब, AP, त्रिज्या OA पर लम्ब है।
∴ AP वृत्त की स्पर्श रेखा है। इसी प्रकार BP भी वृत्त की स्पर्श रेखा है।
माप करने पर प्रत्येक स्पर्श रेखा की लम्बाई = 4 cm

प्रश्न 2.
एक दिए गए त्रिभुज ABC के समरूप एक त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ दिए गए त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 34 हों।
हल
दिया है : एक त्रिभुज ABC
रचना करनी है : एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं की 34 हों।

रचना विधि :
1. BC के बिन्दु B से ∠CBX चित्र की भाँति नीचे की ओर बनाया।
2. BX में से चार समान भाग BB₁, B₁B₂, B₂B₃ और B₃B₄ काटे।
3. B₄C खींची और B₃ से B₄C के समान्तर एक रेखा खींची जो BC से C’ पर मिलती है।
4. C’ से AC के समान्तर रेखा C’A’ खींची जो AB से A’ पर मिलती है।
∆ABC’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 3.
5 cm, भुजा वाले एक समबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए और फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ ∆ABC की संगत भुजाओं की 67 गुनी हों।
हल
दिया है : समबाहु ∆ABC में भुजा AB = BC = CA = 5 cm
रचना करनी है : एक समबाहु ∆ABC की तथा इसके समरूप एक ∆ की प्रत्येक भुजा ∆ABC की संगत भुजा की 67 गुनी हो।

रचना विधि :
1. रेखाखण्ड BC = 5 cm खींचा।
2. B और C को केन्द्र मान कर 5 सेमी के दो चाप लगाए जो एक-दूसरे को A पर काटते हैं।
3. AB और AC को मिलाया। ABC अभीष्ट समबाहु ∆ है।
4. B से न्यूनकोण बनाती हुई रेखा BX खींची। उसमें से BB₁, B₁B₂, B₂B₃, B₃B₄, B₄B₅, B₅B₆ व B₆B₇ के 7 समान भाग काटे।
5. ऋजु रेखा CB₇ खींची।
6. B₆ से CB₇ के समान्तर ऋजु रेखा C’B₆ खींची।
7. C’ से CA के समान्तर ऋजु रेखा C’A’ खींची जो AB को A’ पर मिलती है जिससे A’B = 67 AB, ∆A’BC’ अभीष्ट समरूप त्रिभुज है।

प्रश्न 4.
एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC की रचना कीजिए, जिसकी भुजाएँ AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई 3.6 cm। फिर एक अन्य त्रिभुज की रचना कीजिए जिसकी संगत भुजाएँ त्रिभुज ABC की संगत भुजाओं के 32 गुनी है।
हल
दिया है : समद्विबाहु ∆ABC में AB = AC = 4.6 cm और ऊँचाई = 3.6 cm
रचना करनी है : उक्त समद्विबाहु त्रिभुज की और एक अन्य त्रिभुज की जिसकी भुजाएँ दिए हुए समद्विबाहु त्रिभुज की संगत भुजाओं की 32 हों।

रचना विधि :
1. रेखा EF खींची।
2. इस पर कोई बिन्दु M लिया। इस पर एक लम्ब MP खींचा। इसमें से MA = 3.6 cm काटा।
3. A को केन्द्र मान कर 4.6 cm दूरी पर दो चाप लगाए जो EF को B और C में काटते हैं।
4. AB और AC को मिलाया। समद्विबाहु त्रिभुज ABC प्राप्त किया।
5. बिन्दु M पर BC से नीचे की ओर न्यूनकोण बनाती हुई रेखा MX खींची।
6. MX में से 3 समान भाग MM₁, M₁M₂, M₂M₃ खींचे।
7. रेखाखण्ड M₂C खींचा और M₃ से M₂C के समान्तर रेखा खींची जो EF को C’ पर मिलती है।
8. C’ से AC के समान्तर C’A’ खींची जो MP से A’ पर मिलती है।
9. अब A’ से AB के समान्तर A’B’ रेखा खींची जो EF से B’ पर मिलती है।
∆A’B’C’ अभीष्ट त्रिभुज है।

प्रश्न 5.
दो वृत्तों पर जिनकी त्रिज्याएँ 3.2 cm और 1.5 cm हैं और जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी 6.2 cm है, उभयनिष्ठ अनुस्पर्श रेखाएँ खींचिए। इन स्पर्श रेखाओं की माप बताइए। गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.2 cm तथा 1.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 6.2 cm है।
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाओं की रचना करनी है।
(ii) उनकी लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) गणना द्वारा उत्तर की जाँच करनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 6.2 cm खींचा।
2. O पर 3.2 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा तथा E पर 1.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. OE को व्यास मानकर एक वृत्त खींचा तथा O को केन्द्र मानकर 3.2 – 1.5 = 1.7 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा जो OE व्यास वाले वृत्त को बिन्दुओं C और C’ पर काटता है।
4. OC और OC’ को मिला कर आगे बढ़ाया जो बड़े वृत्त को D तथा D’ बिन्दुओं पर काटती हैं।
5. OD और OD’ के समान्तर छोटे वृत्त के केन्द्र E से क्रमश: EB तथा EB रेखाएँ खींची जो वृत्त को बिन्दुओं B तथा B पर काटती हैं। DB और DB को मिलाया।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm लगभग है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखा की लम्बाई

प्रश्न 6.
दो वृत्तों के केन्द्रों के बीच की दूरी 10 cm है, जिनकी त्रिज्या क्रमशः 4.5 cm व 3.5 cm हैं। वृत्तों की उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखा खींचिए तथा स्पर्शरेखा की लम्बाई नापकर लिखिए तथा गणना द्वारा उत्तर की जाँच कीजिए।
हल
दिया है : 3.5 cm तथा 4.5 cm त्रिज्या के O तथा E केन्द्रीय दो वृत्त जिनके केन्द्रों के बीच की दूरी OE = 10 cm
अभीष्ट :
(i) दोनों वृत्तों के उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्शरेखाओं की रचना करनी है।
(ii) स्पर्शरेखाओं की लम्बाई नापकर लिखनी है।
(iii) स्पर्शरेखा की लम्बाई गणना द्वारा जाँचनी है।

रचना विधि :
1. सर्वप्रथम रेखाखण्ड OE = 10 cm खींचा।
2. O को केन्द्र मानकर 3.5 cm त्रिज्या का वृत्त तथा E को केन्द्र मानकर 4.5 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा।
3. O को केन्द्र मानकर 3.5 + 4.5 = 8 cm त्रिज्या का वृत्त खींचा और OE को व्यास मानकर वृत्त खींचा जो 8 cm त्रिज्या वाले वृत्त को D तथा D’ पर काटता है।
4. OD तथा OD’ को मिलाया जो 3.5 cm त्रिज्या वाले वृत्त को C तथा C’ पर काटती हैं।
5. E से OD के समान्तर EB तथा OD’ के समान्तर EB’ खींची जो E केन्द्र वाले वृत्त को B तथा B बिन्दुओं पर काटती हैं।
6. BC तथा B’C’ को मिलाया। ये ही उभयनिष्ठ तिर्यक स्पर्श रेखा हैं।
नापने पर इनकी लम्बाई 6 cm है।
यही रचना करनी थी।
गणना द्वारा पुष्टि : तिर्यक उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा की लम्बाई