Chapter 5 - समांतर श्रेढ़ियाँ (Ex - 5.2)

समांतर श्रेढ़ियाँ

प्रश्न 1.
निम्नलिखित सारणी में, रिक्त स्थानों को भरिए, जहाँ A.P. का प्रथम पद a, सार्वान्तर d और n वाँ पद a_n है:

हल
(i) दिया है, a = 7, d = 3, n = 8, a_n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
= 7 + (8 – 1) × 3
= 7 + (7 × 3)
= 7 + 21
= 28
अत: an = 28

(ii) दिया है, a = -18, n = 10, a_n = 0, d = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ 0 = -18 + (10 – 1)d
⇒ -18 + 9d = 0
⇒ 9d = 18
⇒ d = 2
अतः d = 2

(iii) दिया है, d = -3, n = 18, a_n = -5, a = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ -5 = a + (18 – 1) × (-3)
⇒ -5 = a + (-51)
⇒ a = -5 + 51 = 46
अत: a = 46

(iv) दिया है, a = -18.9, d = 2.5, a_n = 3.6, n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
⇒ 3.6 = -18.9 + (n – 1) (2.5)
⇒ 18.9 + 3.6 = (n – 1) (2.5)
⇒ (n – 1)(2.5) = 22.5
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 1 + 9 = 10
अतः n = 10

(v) दिया है, a = 3.5, d = 0, n = 10.5, a_n = ?
n वाँ पद (a_n) = a + (n – 1)d
= 3.5 + (10.5 – 1) (0)
= 3.5 + 0
= 3.5
अत: a_n = 3.5

प्रश्न 2.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए और उसका औचित्य दीजिए :
(i) A.P.: 10, 7, 4,……, का 30 वाँ पद है :
(A) 97
(B) 77
(C) -77
(D) -87
(ii) A.P.: -3, −12, 2,….. का 11 वाँ पद है :
(A) 28
(B) 22
(C) -38
(D) -4812
हल
(i) दी हुई A.P. : 10, 7, 4, …….
यहाँ a = 10 तथा d = 7 – 10 = -3
A.P. का 30 वाँ पद (a₃₀) = a + (n – 1)d
= 10 + (30 – 1) × (-3)
= 10 + (-87)
= -77
अत: विकल्प (C) सही है।

(ii) दी हुई A.P. : -3, −12, 2,…….
यहाँ a = -3 तथा d = −12 – (-3) = 52
A.P.का 11वाँ पद (a₁₁) = a + (n – 1)d
= -3 + (11 – 1) × 52
= -3 + 10 × 5
= -3 + 25
= 22
अतः विकल्प (B) सही है।

प्रश्न 3.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में रिक्त खानों (boxes) के पदों को ज्ञात कीजिए :

हल
(i) पहला पद (a) = 2, तीसरा पद = 26, दूसरा पद = ?
माना सार्वान्तर (d) है,
तब, तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 26
⇒ 2 + 2d = 26
⇒ 2d = 24
⇒ d = 12
दूसरा पद = a + d = 2 + 12 = 14
अत: रिक्त बॉक्स का पद (a₂) = 14

(ii) पहला पद = ?, दूसरा पद = 13, तीसरा पद = ?, चौथा पद = 3
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
प्रश्नानुसार, a + d = 13 …….(1)
और चौथा पद = a + 3d
प्रश्नानुसार, a + 3d = 3 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
2d = -10 ⇒ d = -5
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + d = 13
⇒ a + (-5) = 13
⇒ a = 13 + 5 = 18
और तीसरा पद = a + 2d = 18 + 2(-5) =18 – 10 = 8
अत: रिक्त बॉक्सों के पद क्रमशः 18 व 8 हैं।

(iv) -4, a₂, a₃ , a₄, a₅, 6
पहला पद (a) = -4
माना सार्वान्तर d है।
तब, छठा पद = a + 5d
परन्तु छठा पद = 6
a + 5d = 6
⇒ -4 + 5d = 6
⇒ 5d = 10
⇒ d = 2
दूसरा पद (a₂) = a + d = -4 + 2 = -2
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = -4 + 2 × 2 = -4 + 4 = 0
चौथा पद (a₄) = a + 3d = -4 + 3 × 2 = -4 + 6 = 2
पाँचवाँ पद (a₅) = a + 4d = -4 + 4 × 2 = -4 + 8 = 4
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः -2, 0, 2, 4 हैं।

(v) a, 38, a₃, a₄, a₅, -22
माना पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, दूसरा पद = a + d
परन्तु a + d = 38 ……..(1)
और छठा पद = a + (6 – 1)d = a + 5d
परन्तु a + 5d = -22 ………(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 5d) – (a + d) = -22 – 38
⇒ 4d = -60
⇒ d = -15
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + (-15) = 38
⇒ a = 38 + 15
⇒ a = 53
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 53 + 2(-15) = 53 – 30 = 23
चौथा पद (a₄) = a + 3d = 53 + 3(-15) = 53 – 45 = 8
पाँचवाँ पद (a₅) = a + 4d = 53 + 4(-15) = 53 – 60 = -7
अत: बॉक्सों के रिक्त पद क्रमशः 53, 23, 8, -7 हैं।

प्रश्न 4.
A.P.: 3, 8, 13, 18, …… का कौन-सा पद 78 है?
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, 18, ……..
पहला पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
माना n वा पद (a_n) 78 है।
n वाँ पद (a_n) = 78
⇒ a + (n – 1)d = 78
⇒ 3 + (n – 1)5 = 78
⇒ 3 + 5n – 5 = 78
⇒ 5n = 78 + 5 – 3 = 80
⇒ n = 16
अत: 16 वाँ पद 78 है।

प्रश्न 5.
निम्नलिखित समान्तर श्रेढ़ियों में से प्रत्येक श्रेढ़ी में कितने पद हैं?
(i) 7, 13, 19, ……, 205
(ii) 18, 1512, 13, ….., -47
हल
(i) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 7, 13, 19, …… , 205
पहला पद (a) = 7 तथा सार्वान्तर (d) = 13 – 7 = 6
माना दी गई A.P. में n पद हैं जिसमें n वाँ पद (a_n) = 205
n वाँ पद (a_n) = 205
⇒ a + (n – 1)d = 205
⇒ 7 + (n – 1)6 = 205
⇒ 7 + 6n – 6 = 205
⇒ 6n = 205 + 6 – 7 = 204
⇒ n = 34
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 34 पद हैं।

(ii) दी गई समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) : 18, 1512, 13, ….., -47
पहला पद (a) = 18
तथा सार्वान्तर (d) = 1512 – 18
= 312 – 18
= 31−362
= −52
माना दी गई श्रेढ़ी में n पद हैं।
n वाँ पद 4 (a_n) = -47
⇒ a + (n – 1)d = -47
⇒ 18 + (n – 1)(−52) = -47
⇒ −5(n−1)2 = -47 – 18 = -65
⇒ (n – 1) = 65×25 = 26
⇒ n = +1 + 26 = 27
अतः दी गई श्रेढी (A.P.) में 27 पद हैं।

प्रश्न 6.
क्या A.P. : 11, 8, 5, 2 का एक पद -150 है? क्यों?
हल
दी गई A.P. : 11, 8, 5, 2
पहला पद (a) = 11 तथा सार्वान्तर (d) = 8 – 11 = -3
माना n वाँ पद (a_n) = -150 है।
n वाँ पद (a_n) = -150
⇒ a + (n – 1)d = -150
⇒ 11 + (n – 1) × -3 = -150
⇒ -3(n – 1) = -150 – 11 = -161
⇒ (n – 1) = 53.6 (लगभग)
⇒ n = 53.6 + 1 = 54.6
n का मान एक पूर्ण संख्या नहीं है।
अतः दी गई A.P. का कोई पद -150 नहीं है।

प्रश्न 7.
उस A.P. का 31 वाँ पद ज्ञात कीजिए, जिसका 11 वाँ पद 38 है और 16 वाँ पद 73 है।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
दिया है, A.P. का 11 वाँ पद (a₁₁) = 38
⇒ a + (n – 1)d = 38
⇒ a + (11 – 1)d = 38
⇒ a + 10d = 38 ………(1)
पुनः दिया है, A.P. का 16 वाँ पद (a₁₆) = 73
⇒ a + (16 – 1)d = 73
⇒ a + 15d = 73 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 15d) – (a + 10d) = 73 – 38
⇒ 5d = 35
⇒ d = 7
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 10 × 7 = 38
⇒ a + 70 = 38
⇒ a = 38 – 70 = -32
श्रेढ़ी का 31 वाँ पद (a₃₁) = a + (31 – 1)d
= -32 + 30 × 7
= -32 + 210
= 178
अतः A.P. का 31 वाँ पद = 178

प्रश्न 8.
एक A.P. में 50 पद हैं, जिसका तीसरा पद 12 है और अन्तिम पद 106 है। इसका 29 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का प्रथम पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, तीसरा पद = a + (3 – 1)d = a + 2d
और अन्तिम 50 वाँ पद = a + (50 – 1)d = a + 49d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 12 ………(1)
a + 49d = 106 ……(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 49d) – (a + 2d) = 106 – 12
⇒ 47d = 94
⇒ d = 2
तब समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 × 2 = 12
⇒ a + 4 = 12
⇒ a = 8
A.P. का 29 वाँ पद = a + (29 – 1)d
= 8 + 28 × 2
= 8 + 56
= 64
अतः दी गई A.P. का 29 वाँ पद 64 है।

प्रश्न 9.
यदि किसी A.P. के तीसरे और नौवें पद क्रमशः 4 और -8 हैं तो इसका कौन-सा पद शून्य होगा?
हल
माना श्रेढ़ी का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
A.P. का तीसरा पद (a₃) = a + 2d
तथा नौवाँ पद (a₉) = a + (9 – 1) d = a + 8d
तब प्रश्नानुसार,
a + 2d = 4 ……(1)
a + 8d = -8 ……(2)
समीकण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a + 8d) – (a + 2d) = -8 – 4
या 6d = -12
या d = -2
समीकरण (1) में d का मान रखने पर,
a + 2 x (-2) = 4
⇒ a – 4 = 4
⇒ a = 8
माना श्रेढ़ी का n वाँ पद शून्य होगा, अर्थात्
a_n = 0
n वाँ पद (a_n) = 0
⇒ a + (n – 1)d = 0
⇒ 8 + (n – 1) × (-2) = 0
⇒ -2(n – 1) = -8
⇒ (n – 1) = 4
⇒ n = 5
अतः दी गई A.P. का 5 वाँ पद शून्य होगा।

प्रश्न 10.
किसी A.P. का 17 वाँ पद उसके 10 वें पद से 7 अधिक है। इसका सार्वान्तर ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद (a) तथा सार्वान्तर (d) है।
तब, 17 वाँ पद (a₁₇) = a + (17 – 1)d = a + 16d
10 वा पद (a₁₀) = a + (10 – 1)d = a + 9d
प्रश्नानुसार, 17 वाँ पद, 10 वें पद से 7 अधिक है।
17 वाँ पद (a₁₇) – 10 वाँ पद (a₁₀) = 7
⇒ (a + 16d) – (a + 9d) = 7
⇒ 7d = 7
⇒ d = 1
अत: श्रेढ़ी का सार्वान्तर (d) = 1

प्रश्न 11.
A.P. : 3, 15, 27, 39, ….. का कौन-सा पद उसके 54 वें पद से 132 अधिक होगा?
हल
माना अभीष्ट पद n वाँ पद है।
दी गई A.P. : 3, 15, 27, 39, …..
प्रथम पद (a) = 3 तथा सार्वान्तर (d) = 15 – 3 = 12
तब, श्रेढ़ी का 54 वाँ पद (a₅₄) = a + (54 – 1)d
= 3 + (53 × 12)
= 3 + 636
= 639
n वॉ पद (a_n) = 54 वें पद से 132 अधिक
= 639 + 132
= 771
n वाँ पद (a_n) = 771
a + (n – 1)d = 771
3 + (n – 1) 12 = 771
(n – 1)12 = 771 – 3 = 768
n – 1 = 64
n = 64 + 1 = 65
अतः श्रेढ़ी का 65 वाँ पद 54 वें पद से 132 अधिक है।

प्रश्न 12.
दो समान्तर श्रेढ़ियों का सार्वान्तर समान है। यदि इनके 100 वें पदों का अन्तर 100 है, तो इनके 1000 वें पदों का अन्तर क्या होगा?
हल
माना पहली A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है और दूसरी A.P. का पहला पद A तथा सार्वान्तर d है क्योंकि सार्वान्तर समान है।
तब, पहली श्रेढ़ी का 100 वाँ पद = a + (100 – 1)d = a + 99d
दूसरी श्रेढ़ी का 100 वा पद = A + (100 – 1) d = A + 99d
दोनों श्रेढ़ियों के 100 वें पदों का अन्तर = (A + 99d) – (a + 99d) = A – a
तब, प्रश्नानुसार, A – a = 100 ……(1)
अब, पहली श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = a + (1000 – 1)d = a + 999d
दूसरी श्रेढ़ी का 1000 वाँ पद = A + (1000 – 1)d = A + 999d
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = (A + 999d) – (a + 999d) = A – a
दोनों श्रेढ़ियों के 1000 वें पदों का अन्तर = A – a = 100 [समीकरण (1) से]
अत: 1000 वें पदों का अन्तर = 100

प्रश्न 13.
तीन अंकों वाली कितनी संख्याएँ 7 से विभाज्य हैं?
हल
तीन अंकों की संख्याओं की सूची : 100, 101, 102, ……., 999
3 अंकों की 7 से विभाज्य पहली संख्या = 105
और अन्तिम संख्या = 994
तब, 7 से विभाज्य 3 अंकीय संख्याओं की सूची :
105, (105 + 7), (105 + 7 + 7), ……….., 994
= 105, 112, 119,…….,994
माना कुल संख्याएँ n हैं।
पहली संख्या (a) = 105, सार्वान्तर (d) = 7, n वाँ पद (a_n) = 994
n वा पद (a_n) = 994
a + (n – 1)d = 994
105 + (n – 1) × 7 = 994
(n – 1) × 7 = 994 – 105 = 889
(n – 1) = 8897 = 127
n = 127 + 1 = 128
अतः 7 से विभाज्य तीन अंकीय संख्याएँ 128 हैं।

प्रश्न 14.
10 और 250 के बीच में 4 के कितने गणज हैं?
हल
10 से बड़ा 4 का पहला गुणज = 12
250 से छोटा 4 का पहला गुणज = 248
10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की सूची :
12, 12 + 4, (12 + 4 + 4),……., 248
12, 16, 20, 24, …….., 248.
माना गुणजों की संख्या n है।
यहाँ, पहला पद (a) = 12, सार्वान्तर (d) = 16 – 12 = 4
n वा पद (a_n) = 248
⇒ a + (n – 1)d = 248
⇒ 12 + (n -1) 4 = 248
⇒ 12 + 4n – 4 = 248
⇒ 4n = 248 + 4 – 12 = 240
⇒ n = 60
अत: 10 और 250 के बीच 4 के गुणजों की संख्या = 60

प्रश्न 15.
n के किस मान के लिए, दोनों समान्तर श्रेढ़ियों 63, 65, 67, ….. और 3, 10, 17,…..के n वें पद बराबर होंगे?
हल
पहली समान्तर श्रेढ़ी : 63, 65, 67,……
पहला पद (a) = 63, सार्वान्तर (d) = 65 – 63 = 2
श्रेढ़ी का n वा पद = a + (n – 1)d
= 63 + (n – 1)2
= 63 + 2n – 2
= 61 + 2n
दूसरी समान्तर श्रेढ़ी : 3, 10, 17, ……
पहला पद (A) = 3 सार्वान्तर (D) = 10 – 3 = 7
श्रेढ़ी का n वाँ पद = A + (n – 1)D
= 3 + (n – 1)7
= 3 + 7 n – 7
= 7n – 4
दोनों श्रेढ़ियों के n वें पद बराबर हैं।
7n – 4 = 61 + 2n
⇒ 7n – 2n = 61 + 4
⇒ 5n = 65
⇒ n = 13
अतः दी गई दोनों श्रेढ़ियों के 13 वें पद समान हैं।

प्रश्न 16.
वह A.P. ज्ञात कीजिए जिसका तीसरा पद 16 है और 7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है।
हल
माना पहला पद a है तथा सार्वान्तर d है।
दिया है, A.P. का तीसरा पद = 16
a + 2d = 16 ……(1)
श्रेढ़ी का 7 वाँ पद (a₇) = a + (7 – 1)d = a + 6d
तथा 5 वाँ पद (a₅) = a + (5 – 1)d = a + 4d
7 वाँ पद 5 वें पद से 12 अधिक है
(a + 6d) – (a + 4d) = 12
⇒ a + 6d – a – 4d = 12
⇒ 2d = 12
⇒ d = 6
d का मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 2 × 6 = 16
⇒ a = 4
श्रेढ़ी का पहला पद (a) = 4
दूसरा पद (a₂) = a + d = 4 + 6 = 10
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = 4 + 2 × 6 = 4 + 12 = 16
चौथा पद (a₄) = a + 3d = 4 + 3 × 6 = 4 + 18 = 22
अत: अभीष्ट A.P. : 4, 10, 16, 22, …….. है।

प्रश्न 17.
A.P. : 3, 8, 13, ….., 253 में अन्तिम पद से 20 वाँ पद ज्ञात कीजिए।
हल
दी गई A.P. : 3, 8, 13, ………, 253
पहला पद (a) = 3, सार्वान्तर (d) = 8 – 3 = 5
यदि श्रेढ़ी को अवरोही क्रम में लिखें तो यह निम्नवत् होगी
253, (253 – 5), (253 – 10), (253 – 15), ……., 3
या 253, 248, 243, 238, ………, 3
पहला पद (a) = 253 तथा सार्वान्तर (d) = 248 – 253 = -5
श्रेढ़ी का 20 वाँ पद = a + (20 – 1)d
= 253 + 19 × (-5)
= 253 – 95
= 158
अतः दी गई A.P. के अन्तिम पद से 20 वाँ पद = 158
वैकल्पिक विधिः A.P. का अन्त से n वाँ पद = l – (n – 1)d
जहाँ, पर l = अन्तिम पद यहाँ, l = 253, d = 8 – 3 = 5, n = 20
A.P. का अन्त से 20वाँ पद = 253 – (20 – 1) (5)
= 253 – 19 × 5
= 253 – 95
= 158

प्रश्न 18.
किसी A.P. के चौथे और 8 वें पदों का योग 24 है तथा छठे और 10 वें पदों का योग 44 है। इस A.P. के प्रथम तीन पद ज्ञात कीजिए।
हल
माना A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
प्रश्नानुसार, 4वाँ पद (a₄) + 8 वाँ पद (a₈) = 24
⇒ a + (4 – 1)d + a + (8 – 1)d = 24
⇒ a + 3d + a + 7d = 24
⇒ 2a + 10d = 24
⇒ a + 5d = 12 ……..(1)
तथा 6वाँ पद (a₆) + 10वाँ पद (a₁₀) = 44
⇒ a + (6 – 1)d + a + (10 – 1)d = 44
⇒ a + 5d + a + 9d = 44
⇒ 2a + 14d = 44
⇒ a + 7d = 22 ……..(2)
समीकरण (2) में से समीकरण (1) को घटाने पर,
(a +7d) – (a + 5d) = 22 – 12
⇒ 2d = 10
⇒ d = 5
d का यह मान समीकरण (1) में रखने पर,
a + 5 × 5 = 12
⇒ a + 25 = 12
⇒ a = -13
तब, श्रेढ़ी का पहला पद (a₁) = -13
दूसरा पद (a₂) = a + d = -13 + 5 = -8
तीसरा पद (a₃) = a + 2d = -13 + 2 × 5 = -13 + 10 = -3
अतः दी गई A.P. के प्रथम तीन पद = -13, -8, -3

प्रश्न 19.
सुब्बाराव ने 1995 में ₹ 5000 के मासिक वेतन पर कार्य आरम्भ किया और प्रत्येक वर्ष ₹ 200 की वेतन वृद्धि प्राप्त की। किस वर्ष में उसका वेतन ₹ 7000 हो गया?
हल
पहले वर्ष में प्रारम्भिक वेतन = ₹ 5000 प्रतिमास
दूसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5000 + 200) = ₹ 5200
प्रतिमास तीसरे वर्ष में वेतन = ₹ (5200 + 200) = ₹ 5400 प्रतिमास
इस प्रकार प्रत्येक वर्ष के वेतन (₹)
5000, 5200, 5400, …….. एक समान्तर श्रेढ़ी बनाते हैं।
जिसका पहला पद (a) = 5000 तथा सार्वान्तर (d) = 200
माना n वर्ष बाद वेतन ₹ 7000 होगा।
तब, n वाँ पद = 7000
a + (n – 1)d = 7000
⇒ 5000 + (n – 1) 200 = 7000
⇒ (n – 1) × 200 = 7000 – 5000
⇒ (n – 1) × 200 = 2000
⇒ (n – 1) = 10
⇒ n = 10 + 1 = 11
अत: 11 वें वर्ष में सुब्बाराव का वेतन ₹ 7000 हो जायेगा।

प्रश्न 20.
रामकली ने किसी वर्ष के प्रथम सप्ताह में ₹ 5 की बचत की और फिर अपनी साप्ताहिक बचत ₹ 1.75 बढ़ाती गई। यदि n वें सप्ताह में उसकी साप्ताहिक बचत ₹ 20.75 हो जाती है, तो n ज्ञात कीजिए।
हल
प्रथम सप्ताह की बचत = ₹ 5
प्रत्येक सप्ताह की बचत में उत्तरोत्तर ₹ 1.75 की वृद्धि होती है।
प्रत्येक सप्ताह की बचतें एक A.P. का निर्माण करती हैं जिसका पहला पद (a) = 5 तथा सार्वान्तर (d) = ₹ 1.75
n वें सप्ताह में बचत = 20.75
a + (n – 1)d = 20.75
⇒ 5 + (n – 1) 1.75 = 20.75
⇒ (n – 1) × 1.75 = 20.75 – 5
⇒ (n – 1) × 1.75 = 15.75
⇒ n – 1 = 9
⇒ n = 9 + 1 = 10
अत: n = 10

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