Chapter 5 - समांतर श्रेढ़ियाँ (Ex - 5.4)

समांतर श्रेढ़ियाँ Ex 5.4

प्रश्न 1.
A.P.: 121, 117, 113,…… का कौन-सा पद सबसे पहला ऋणात्मक पद होगा?
[संकेत : a_n < 0 के लिए n ज्ञात कीजिए।]
हल
दी गई A.P.: 121, 117, 113, ………
प्रथम पद (a) = 121
तथा सार्वान्तर (d) = 117 – 121 = -4
मान लिया n वाँ पद प्रथम ऋणात्मक पद होगा।
a_n < 0
⇒ a + (n – 1)d < 0
⇒ 121 + (n – 1) × (-4) < 0
⇒ -(n – 1) 4 < -121
⇒ n – 1 < 1214
⇒ n < 1214 + 1
⇒ n < 1254
⇒ n < 31.25
n < 32 क्योंकि n = एक पूर्णांक है।
अत: 32 वाँ पद पहला ऋणात्मक पद होगा।

प्रश्न 2.
किसी A.P. के तीसरे और सातवें पदों का योग 6 है और उनका गणनफल 8 है। इस A.P. के प्रथम 16 पदों का योग ज्ञात कीजिए।
हल
माना दी गई A.P. का पहला पद a तथा सार्वान्तर d है।
तीसरा पद (a₃) = a + (3 – 1)d = a + 2d
सातवाँ पद (a₇) = a + (7 – 1)d = a + 6d
प्रश्नानुसार, तीसरे + सातवें पद का योग = 6
⇒ a₃ + a₇ = 6
⇒ a + 2d + a + 6d = 6
⇒ 2a + 8d = 6
⇒ a + 4d = 3 ……(1)
पुनः प्रश्नानुसार,
a₃ × a₇ = 8
⇒ (a + 2d) × (a + 6d) = 8
⇒ a² + 8ad + 12d² = 8 ……..(2)
समीकरण (1) के वर्ग में से समीकरण (2) को घटाने पर,
(a + 4d)² – (a² + 8ad + 12d²) = (3)² – 8
⇒ a² + 8ad + 16d² – a² – 8ad – 12d² = 9 – 8
⇒ 4d² = 1
⇒ d = ±12
समीकरण (1) में d = 12 रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × 12 = 3
⇒ a + 2 = 3
⇒ a = 1
समीकरण (1) में पुन: d = −12 रखने पर,
a + 4d = 3
⇒ a + 4 × (−12) = 3
⇒ a – 2 = 3
⇒ a = 5
पहली स्थिति में, a = 1, d = 12

अतः प्रथम 16 पदों का योग = 20 अथवा 76

प्रश्न 3.
संलग्न चित्र में, एक सीढ़ी के क्रमागत डण्डे परस्पर 25 cm की दूरी पर हैं। डण्डों की लम्बाई एकसमान रूप से घटती जाती है तथा 25 cm सबसे निचले डण्डे की लम्बाई 45 cm है और सबसे ऊपर वाले डण्डे की लम्बाई 25 सेमी है। यदि ऊपरी और निचले डण्डे के बीच की दूरी 212 m है, तो डण्डों को बनाने के लिए लकड़ी की कितनी लम्बाई की आवश्यकता होगी?
[संकेत : डण्डों की संख्या = 25025 + 1 है।]

हल
प्रथम व अन्तिम डण्डे के बीच की क्षैतिज दूरी
= 212 m
= 52 m
= 5×1002 cm
= 250 cm
और दो क्रमागत डण्डों के बीच की दूरी = 25 cm
सीढ़ी में डण्डों की संख्या = 25025 + 1 = 11
प्रथम डण्डे की लम्बाई (a) = 25 cm और अन्तिम डण्डे की लम्बाई (l) = 45 cm
11 डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की कुल माप = n2 [a + l]
= 112 [25 + 45] cm
= 5.5 × 70 cm
= 385 cm
= 3.85 m
अत: सीढ़ी के डण्डों में प्रयुक्त लकड़ी की लम्बाई = 385 cm या 3.85 m

प्रश्न 4.
एक पंक्ति के मकानों को क्रमागत रूप से संख्या 1 से 49 तक अंकित किया गया है। दर्शाइए कि x का एक ऐसा मान है कि x से अंकित मकान से पहले के मकानों की संख्याओं का योग उसके बाद वाले मकानों की संख्याओं के योग के बराबर है। x का मान ज्ञात कीजिए।
[संकेत : S_x-1 = S₄₉ – S_x है]
हल
दिया है, मकानों पर अंकित संख्याएँ : 1, 2, 3, 4, 5, 6, ……., 47, 48, 49 हैं।
x एक ऐसी संख्या है कि x के एक ओर की संख्याओं का योग = x के दूसरी ओर की संख्याओं का योग
अर्थात् 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग = x – 1 से 49 तक की सभी संख्याओं का योग
अनुक्रम की सभी संख्याओं में सार्वान्तर, d = 1
तब, 1 से x – 1 तक की संख्याओं का योग

प्रश्न 5.
संलग्न चित्र में एक फुटबाल के मैदान में एक छोटा चबूतरा है जिसमें 15 सीढ़ियाँ बनी हुई हैं। इन सीढ़ियों में से प्रत्येक की लम्बाई 50 m है और वह ठोस कंक्रीट (concrete) की बनी है। प्रत्येक सीढ़ी में 14 m की चढ़ाई है और 12 m का फैलाव (चौड़ाई) है। इस चबूतरे को बनाने में लगी कंक्रीट का कुल आयतन परिकलित कीजिए।
[संकेत : पहली सीढ़ी को बनाने में लगी कंक्रीट का आयतन = 14×12×50 m³ है।]

हल
दिया है, प्रत्येक सीढ़ी की लम्बाई 50m तथा चौड़ाई 12 m है।
सीढ़ियों की संख्या 15 है। प्रत्येक सीढ़ी की जमीन से ऊँचाई एक समान्तर श्रेढ़ी (A.P.) का अनुक्रम है जो निम्नवत् है :