Chapter 6 - त्रिभुज (Ex - 6.2)

त्रिभुज

प्रश्न 1.
आकृति में, DE || BC है। चित्र (i) में EC और चित्र (ii) में AD ज्ञात कीजिए-

हल

प्रश्न 2.
किसी ∆PQR की भुजाओं PQ और PR पर क्रमशः बिन्दु E और F स्थित हैं। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्थिति के लिए, बताइए कि क्या EF || QR है-
(i) PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm
(ii) PE = 4 cm, QE = 4.5 cm, PF = 8 cm और RF = 9 cm
(iii) PQ = 1.28 cm, PR = 2.56 cm, PE = 0.18 cm और PF = 0.36 cm
हल
∆PQR में भुजा PQपर एक बिन्दु E तथा भुजा PR पर एक बिन्दु F स्थित है।
बिन्दुओं E व F को मिलाकर रेखाखण्ड EF खींचा गया है।
(i) दिया है, PE = 3.9 cm, EQ = 3 cm, PF = 3.6 cm और FR = 2.4 cm

प्रश्न 3.
आकृति में, यदि LM || CB और LN || CD हो तो सिद्ध कीजिए कि AMAB=ANAD है।

हल
दिया है : रेखाखण्ड LM || CB और LN || CD है।
सिद्ध करना है : AMAB=ANAD
उपपत्ति : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु M तथा भुजा AC पर एक बिन्दु L है जिससे रेखाखण्ड LM || CB

प्रश्न 4.
आकृति में, DE || AC और DF || AE है। सिद्ध कीजिए कि BFFE=BEEC है।

हल
दिया है : ∆ABC में भुजा AB पर एक बिन्दु D है और भुजा BC पर दो बिन्दु E व F हैं।
रेखाखण्ड DF, DE व AE खींचे गए हैं। DE || AC है और DF || AE है।

प्रश्न 5.
आकृति में, DE || OQ और DF || OR है। दर्शाइए कि EF || QR है।

हल
दिया है : दी गई आकृति में DE || OQ तथा DF || OR है।
सिद्ध करना है : EF || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, DE || OQ
PEEQ=PDDO ……..(1)
और ∆POR में, DF || OR
PFFR=PDDO ………(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
PEEQ=PFFR
अब ∆PQR में, PEEQ=PFFR
तब, थेल्स प्रमेय के विलोम से, EF || QR
इति सिद्धम्

प्रश्न 6.
आकृति में क्रमशः OP, OQ और OR पर स्थित बिन्दु A, B और C इस प्रकार हैं कि AB || PQ और AC || PR है। दर्शाइए कि BC || QR है।

हल
दिया है : दिए गए चित्र में रेखाखण्डों OP, OQ और OR पर क्रमशः बिन्दु A, B और C इस प्रकार स्थित हैं कि AB || PQ और AC || PR है।
सिद्ध करना है : BC || QR
उपपत्ति : ∆POQ में, AB || PQ (दिया है)
OAAP=OBBQ ………(1)
इसी प्रकार ∆POR में, AC || PR (दिया है)
OAAP=OCCR ….(2)
तब, समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
OBBQ=OCCR
अब ∆OQR में, OBBQ=OCCR
थेल्स प्रमेय के विलोम से, BC || QR
इति सिद्धम

प्रश्न 7.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की एक भुजा के मध्य-बिन्दु से होकर दूसरी भुजा के सामान्तर खींची गई रेखा तीसरी भुजा को समद्विभाजित करती है।

हल
दिया है : ∆ABC की एक भुजा AB का मध्य-बिन्दु D है।
D से DE || BC रेखा खींची गई है जो रेखा AC को बिन्दु E पर काटती है।
सिद्ध करना है : E, AC का मध्य-बिन्दु है।
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : DB = 1 : 1 और DE || BC.
तब, थेल्स प्रमेय के अनुसार,
ADDB=AEEC
⇒ 11=AEEC
⇒ AE = EC
अत: E, AC का मध्य-बिन्दु है अथवा DE, AC को समद्विभाजित करती है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 8.
आधारभूत आनुपातिक प्रमेय के विलोम का प्रयोग करते हुए सिद्ध कीजिए कि एक त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं के मध्य-बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा तीसरी भुजा के समान्तर होती है।

हल
दिया है : ∆ABC में AB तथा AC के मध्य-बिन्दु क्रमश: D और E हैं।
सिद्ध करना है : DE || BC
उपपत्ति : D, AB का मध्य-बिन्दु है।
AD : BD = 1 : 1
तथा E, AC का मध्य-बिन्दु है।
AE : EC = 1 : 1
ADDB=AEEC
थेल्स प्रमेय के विलोम से ∆ABC में,
ADDB=AEEC
DE || BC
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
ABCD एक समलम्ब है जिसमें AB || DC है। इसके विकर्ण परस्पर बिन्दु O पर प्रतिच्छेद करते हैं। दर्शाइए कि AOBO=CODO है।

हल
दिया है : ABCD एक समलम्ब है, जिसमें AC तथा BD दो विकर्ण हैं जो परस्पर बिन्दु O पर काटते हैं।
सिद्ध करना है: AOBO=CODO
रचना : O से OE || CD खींचिए।
उपपत्ति : ∆ADC में, OE || DC
AEED=AOCO ………(1)
समलम्ब ABCD में,
AB || CD और रचना से OE || CD ⇒ OE || AB
अब, ∆ADB में, OE ||
EDAE=DOBO
⇒ AEED=BODO …….(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
AOCO=BODO
⇒ AO × DO = BO × CO
⇒ AOBO=CODO
इति सिद्धम्

प्रश्न 10.
एक चतुर्भुज ABCD के विकर्ण परस्पर बिन्दु पर इस प्रकार प्रतिच्छेद करते हैं कि AOBO=CODO है। दर्शाइए कि ABCD एक समलम्ब है।

हल
दिया है : ABCD एक चतुर्भुज है जिसके विकर्ण AC तथा BD बिन्दु O पर एक-दूसरे को इस प्रकार विभक्त करते हैं कि
AOBO=CODO
सिद्ध करना है : ABCD एक समलम्ब है।
रचना : O से OE || DC खींचिए।
उपपत्ति : ΔBDC में, OE || DC
BODO=BEEC …….(1)
परन्तु दिया गया है कि
AOBO=CODO
⇒ AOCO=BODO ………(2)
समीकरण (1) व समीकरण (2) से,
AOCO=BEEC
⇒ COAO=ECBE
OE || AB (थेल्स प्रमेय के विलोम से)
AB || CD (∵ OE || CD रचना से)
अत: ABCD एक समलम्ब है।
इति सिद्धम्

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