त्रिकोणमिति का परिचय
प्रश्न 1.
निम्नलिखित के मान निकालिए
(i) sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60°
(ii) 2 tan2 45° + cos2 30° – sin2 60°
हल
प्रश्न 2.
सही विकल्प चुनिए और अपने विकल्प का औचित्य दीजिए-
(i) 2tan30∘1+tan230∘=
(A) sin 60°
(B) cos 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
(ii) 1−tan245∘1+tan245∘=
(A) tan 90°
(B) 1
(C) sin 45°
(D) 0
(iii) sin 2A = 2sin A तब सत्य होता है, जबकि A बराबर है :
(A) 0°
(B) 30°
(C) 45°
(D) 60°
(iv) 2tan30∘1−tan230∘ बराबर है :
(A) cos 60°
(B) sin 60°
(C) tan 60°
(D) sin 30°
हल
प्रश्न 3.
यदि tan(A + B) = √3 और tan(A – B) = 13√; 0° < A + B < 90°; A > B, तो A और B का मान ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, tan (A + B) = √3
⇒ tan (A + B) = tan 60°
⇒ A + B = 60° ……(1)
तथा tan (A – B) = 13√
⇒ tan (A – B) = tan 30°
⇒ A – B = 30° …….(2)
समीकरण (1) व (2) को हल करने पर,
अत: A = 45° तथा B = 15°
प्रश्न 4.
बताइए कि निम्नलिखित में कौन-कौन सत्य हैं या असत्य हैं। कारण सहित अपने उत्तर की पुष्टि कीजिए।
(i) sin(A + B) = sin A + sin B
(ii) θ में वृद्धि होने के साथ sin θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iii) θ में वृद्धि होने के साथ cos θ के मान में भी वृद्धि होती है।
(iv) θ के सभी मानों पर sin θ = cos θ
(v) A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं है।
हल
(i) माना A = 30° तथा B = 30°, तब
sin (A + B) = sin (30° + 30° ) = sin 60° = 3√2
और sin A + sin B = sin 30° + sin 30° = 12+12 = 1
sin (A + B) ≠ sin A + sin B
अत: दिया गया कथन असत्य है।
(ii) ∵ sin 0° = 0, sin 30° = 12, sin 45° = 12√, sin 60° = 3√2, sin 90° = 1
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर sin θ का मान भी बढ़ता है परन्तु यह θ = 90° तक ही सही है, आगे नहीं।
अत: दिया गया कथन सत्य है।
(iii) ∵ cos 0° = 1 और cos 90° = 0
स्पष्ट है कि θ का मान बढ़ने पर cos θ में वृद्धि नहीं होती।
अत: दिया गया कथन असत्य है।
(iv) ∵ sin θ = cos θ
⇒ sinθcosθ = 1
⇒ tan θ = 1
⇒ θ = 45°
θ के सभी मानों के लिए sin θ ≠ cos θ
अतः दिया गया कथन असत्य है।
(v) त्रिकोणमितीय अनुपातों के विभिन्न मानों के लिए संकलित सारणी को देखने से स्पष्ट है कि cot A = अनिर्धारित
∴ A = 0° पर cot A परिभाषित नहीं (not defined) है।
अत: दिया गया कथन सत्य है।
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