Chapter 12 - वृतों से संबंधित क्षेत्रफल (Additional Questions)

वृतों से संबंधित क्षेत्रफल

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
यदि R₁ और R₂ त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग त्रिज्या R वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर हो, तो
(i) R₁ + R₂ = R
(ii) R₁^2 + R₂^2 =R^2
(iii) R₁ + R₂ < R
(iv) R21+R22<R2
हल
(ii) R₁^2 + R₂^2 =R^2

प्रश्न 2.
यदि R₁ और R₂ त्रिज्याओं वाले दो वृत्तों की परिधियों का योग त्रिज्या R वाले एक वृत्त की परिधि के बराबर हो, तो
(i) R₁ + R₂ = R
(ii) R₁ + R₂ > R
(iii) R₁ + R₂ < R
(iv) R₁, R₂ और R के बीच सम्बन्ध के बारे में निश्चित रूप से कुछ नहीं कहा जा सकता।
हल
(i) R₁ + R₂ = R

प्रश्न 3.
यदि एक वृत्त की परिधि और एक वर्ग का परिमाप बराबर है, तो
(i) वृत्त का क्षेत्रफल = वर्ग का क्षेत्रफल
(ii) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल
(iii) वृत्त का क्षेत्रफल < वर्ग का क्षेत्रफल
(iv) वृत्त और वर्ग के क्षेत्रफलों के बीच के सम्बन्ध में निश्चित रूप से नहीं कहा जा सकता।
हल
(ii) वृत्त का क्षेत्रफल > वर्ग का क्षेत्रफल

प्रश्न 4.
त्रिज्या r के अर्धवृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले सबसे बड़े त्रिभुज का क्षेत्रफल है
(i) r²
(ii) 12 r²
(iii) 2r²
(iv) √2r²
हल
(i) r²

प्रश्न 5.
यदि एक वृत्त का परिमाप का एक वर्ग के परिमाप के बराबर है, तो उनके क्षेत्रफलों का अनुपात है
(i) 22 : 7
(ii) 14 : 11
(iii) 7 : 22
(iv) 11 : 14
हल
(ii) 14 : 11

प्रश्न 6.
किसी स्थान पर 16 m और 12 m व्यास वाले दो वृत्ताकार पार्को के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल का एक अकेला साकार पार्क बनाने का प्रस्ताव है। नये पार्क की त्रिज्या होगी।
(i) 10 m
(ii) 15 m
(iii) 20 m
(iv) 24 m
हल
(i) 10 m

प्रश्न 7.
भुजा 6 cm वाले एक वर्ग के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वृत्त का क्षेत्रफल है
(i) 36π cm²
(ii) 18π cm²
(iii) 12π cm²
(iv) 9π cm²
हल
(iv) 9π cm²

प्रश्न 8.
त्रिज्या 8 cm वाले एक वृत्त के अन्तर्गत खींचे जा सकने वाले वर्ग का क्षेत्रफल है
(i) 256 cm²
(ii) 128 cm²
(iii) 64√2 cm²
(iv) 64 cm²
हल
(ii) 128 cm²

प्रश्न 9.
व्यासों 36 cm और 20 cm वाले दो वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर परिधि वाले एक वृत्त की त्रिज्या है.
(i) 56 cm
(ii) 42 cm
(iii) 28 cm
(iv) 16 cm
हल
(iii) 28 cm

प्रश्न 10.
त्रिज्याओं 24 cm वाले और 7 cm वाले दो वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर क्षेत्रफल वाले एक वृत्त का व्यास है।
(i) 31 cm
(ii) 25 cm
(iii) 62 cm
(iv) 50 cm
हल
(iv) 50 cm

प्रश्न 11.
यदि त्रिज्या r वाले एक वृत्त का एक त्रिज्यखण्ड का कोण (डिग्री में) θ है, त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल है
(i) πr2θ360∘
(ii) πr2θ180∘
(iii) 2πrθ360∘
(iv) 2πrθ180∘
हल
(i) πr2θ360∘

प्रश्न 12.
यदि एक वृत्त का क्षेत्रफल 154 cm² हैं, तो उसका परिमाप है
(i) 11 cm
(ii) 22 cm
(iii) 44 cm
(iv) 55 cm
हल
(iii) 44 cm

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
7 cm त्रिज्या वाले वृत्त के एक त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसका कोण 90° है।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या = 7 cm
तथा त्रिज्यखण्ड कोण, (θ) = 90°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =

प्रश्न 2.
दो वृत्तों की परिधियों का अनुपात 2 : 3 है, उनकी त्रिज्याओं का अनुपात ज्ञात कीजिए।
हल
माना वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः r₁ तथा r₂ हैं, तब इनकी परिधियाँ क्रमश: 2πr₁ तथा 2πr₂ होंगी।
प्रश्नानुसार, परिधियों का अनुपात = 2 : 3
⇒ 2πr₁ : 2πr₂ = 2 : 3
⇒ r₁ : r₂ = 2 : 3
अत: त्रिज्याओं का अनुपात 2 : 3 है।

प्रश्न 3.
आकृति में, चाप AB की लम्बाई सेमी में ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, OA = OB = 28 cm तथा θ = 45°

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
21 सेमी त्रिज्या वाले एक वृत्त का चाप केन्द्र पर 120° का कोण अन्तरित करता है। चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (r) = 21 cm
त्रिज्यखण्ड का कोण (θ) = 120°
त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल =

अत: चाप द्वारा बने त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 462 cm²

प्रश्न 2.
आकृति में, 35 m त्रिज्या वाले एक वृत्ताकार बाग का केन्द्र O है। इसके छायांकित भाग में पत्थर बिछाने का व्ययर 75.0 प्रति वर्ग मीटर की दर से ज्ञात कीजिए ∠AOB = 120° है।

हल
दिया है, r = 35 m तथा θ = 120°
त्रिज्यखण्ड (छायांकित भाग) का क्षेत्रफल

अतः पत्थर बिछाने का व्यय = ₹ 96250

प्रश्न 3.
त्रिज्या 4 cm वाले एक वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जिसका कोण 60° है। संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल भी ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
दिया है, त्रिज्या (r) = 4 cm तथा त्रिज्याखण्ड का कोण (θ) = 60°
त्रिज्यखण्ड OAPB का क्षेत्रफल = θ360∘×πr2
= 60∘360∘ × 3.14 × 4 × 4
= 8.37 cm²
संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = (वृत्त का क्षेत्रफल – त्रिज्यखण्ड OAPBO का क्षेत्रफल)
= πr² – 8.37
= 3.14 × 4 × 4 – 8.37
= 50.24 – 8.37
= 41.87 cm²
अत: वृत्त के त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 8.37 cm²
तथा संगत दीर्घ त्रिज्यखण्ड का क्षेत्रफल = 41.87 cm²

प्रश्न 4.
संलग्न आकृति में छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए, जहाँ ABCD भुजा 14 cm का एक वर्ग है।

हल
दिया है, वर्ग की भुजा = 14 cm
वर्ग ABCD का क्षेत्रफल = (14 × 14) cm² = 196 cm²

अतः छायांकित क्षेत्र का क्षेत्रफल = (196 – 154) cm² = 42 cm²

प्रश्न 5.
आकृति में, PQ = 12 cm, RP = 9 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त PQORP का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से,
∠QPR = 90°
RQ² = PQ² + RP² = (12)² + (9)² = 144 + 81 = 225
⇒ RQ = 15 cm
RQ वृत्त का व्यास है।
वृत की त्रिज्या (OQ) = OR = 152 cm
अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OQ)²
= 12×22/7×152×152
= 495056
= 88.4 cm²
समकोण ΔPQR का क्षेत्रफल = 12 × PQ × PR
= 12 × 12 × 9
= 54 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔPQR का क्षेत्रफल
= (88.4 – 54) cm²
= 34.4 cm²

प्रश्न 6.
आकृति में, AC = 8cm, BC = 6 cm और O वृत्त का केन्द्र है। छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए। (π = 3.14)

हल
अर्द्धवृत्त CBOAC का क्षेत्रफल = 12πr2
हम जानते हैं कि अर्द्धवृत्त में स्थित कोण समकोण होता है।
पाइथागोरस प्रमेय से, ∠ACB = 90°
AB² = BC² + CA² = (6)² + (8)² = 36 + 64 = 100
⇒ AB = 10 cm
वृत्त की त्रिज्या, OA = OB = AB2=102 = 5 cm
अब, अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल = 12 π (OA)
= 12 × 3.14 × 5 × 5
= 1.57 × 5 × 5
= 39.25 cm²
समकोण ∆ABC का क्षेत्रफल = 12 × 5 × 5 =12.5 cm²
अत: छायांकित भाग का क्षेत्रफल = अर्द्धवृत्त का क्षेत्रफल – ΔABC का क्षेत्रफल
= (39.25 – 12.50) cm²
= 26.75 cm²

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
आकृति में, AB और CD केन्द्र O तथा त्रिज्याओं 15 सेमी वाले दो सकेन्द्रीय वृत्तों के क्रमशः दो चाप हैं, यदि ∠AOB = 60°, तो छायांकित भाग का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल

अतः छायांकित भाग का क्षेत्रफल 99 cm² है।

प्रश्न 2.
दी गई आकृति से लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए यदि ∠AOB = 120° और वृत्त की त्रिज्या OA = 21 cm

हल
दिया है, वृत्त की त्रिज्या (R) = OA = 21 cm और θ = ∠AOB = 120°
त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल

∆OAB के क्षेत्रफल के लिए :

∆OAB में, OA = OB
अर्थात् ∆OAB समद्विबाहु त्रिभुज है
शीर्ष O से AB पर लम्ब OD खींचा जो AB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि AB वृत्त की जीवा भी है और लम्ब OD वृत्त के केन्द्र से जाता है।
तब, ∆OAD में, ∠AOD = 60° और ∠OAD = 30° तथा ∠ADO = 90°
समकोण ∆OAD में,

अब, लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = त्रिज्यखण्ड AOBA का क्षेत्रफल – ∆OAB का क्षेत्रफल
= (462 – 4414 √3) cm²
= (462 – 110.25 × √3) cm²
= (462 – 110.25 × 1.732) cm²
= (462 – 190.953) cm²
= 271.047 cm²
अत: लघु वृत्तखण्ड का क्षेत्रफल = 271.047 cm²

प्रश्न 3.
दी गई आकृति में, OACB केन्द्र O और व्यास 7 cm वाले एक वृत्त का चतुर्थांश है। यदि OD = 2 cm है तो छायांकित भाग के क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है, वृत्त का व्यास = 7 cm
वृत्त की त्रिज्या (r) = 3.5 cm, OD = 2 cm
वृत्त के चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल

अत: चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल = 778 cm²
अब छायांकित भाग का क्षेत्रफल = (चतुर्थांश OACB का क्षेत्रफल – ∆OBD का क्षेत्रफल)