वृतों से संबंधित क्षेत्रफल
(जब तक अन्यथा न कहा जाए, π = 22/7 का प्रयोग कीजिए)
प्रश्न 1.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 19 cm और 9 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसकी परिधि इन दोनों वृत्तों की परिधियों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 19 cm
पहले वृत्त की परिधि = 2πr1 = 2π × 19 = 38π cm
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 9 cm
दूसरे वृत्त की परिधि = 2πr2 = 2π × 9 = 18π cm
दोनों वृत्तों की परिधियों का योग = (38π + 18π) = 56π cm
वांछित वृत्त की परिधि = 56π cm
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या = r cm
तब, वांछित वृत्त की परिधि = 56π m
⇒ 2πr = 56π
⇒ r = 56π/2π = 28
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 28 cm
प्रश्न 2.
दो वृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः 8 cm और 6 cm हैं। उस वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए जिसका क्षेत्रफल इन दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों के योग के बराबर है।
हल
पहले वृत्त की त्रिज्या (r1) = 8 cm
पहले वृत्त का क्षेत्रफल = πr21 = π × 8 × 8 = 64π cm2
इसी प्रकार, दूसरे वृत्त की त्रिज्या (r2) = 6 cm
दूसरे वृत्त का क्षेत्रफल = πr22 = π × 6 × 6 = 36π cm2
दोनों वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग = 64π + 36π = 100π cm2
वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm2
माना वांछित वृत्त की त्रिज्या r cm है।
तब, वांछित वृत्त का क्षेत्रफल = 100π cm2
⇒ πr2 = 100π
⇒ r2 = 100π
⇒ r = √100 = 10
अतः अभीष्ट वृत्त की त्रिज्या = 10 cm
प्रश्न 3.
दी गई आकृति एक तीरंदाजी लक्ष्य को दर्शाती है, जिसमें केन्द्र से बाहर की ओर पाँच क्षेत्र GOLD, RED, BLUE, BLACK और WHITE चिह्नित हैं, जिनसे अंक अर्जित किए जा सकते हैं। GOLD अंक वाले क्षेत्र GOLD का व्यास 21 cm है तथा प्रत्येक अन्य पट्टी 10.5 cm चौड़ी है। अंक प्राप्त कराने वाले इन पाँचों क्षेत्रों में से प्रत्येक का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
हल
सबसे पहले क्षेत्र का व्यास = 21 cm
GOLD क्षेत्र की त्रिज्या RG = 212 = 10.5 cm
और अगली प्रत्येक पट्टी की चौड़ाई = 10.5 cm
तीरंदाजी के पाँच क्षेत्रों का क्रम = GOLD, RED, BLUE, BLACK, WHITE
RED क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या Rr2 = 10.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या Rr1 = Rr2 + 10.5 cm = 10.5 + 10.5 = 21.0 cm
तब, BLUE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या RB2 = 21.0 cm
तथा बाहरी त्रिज्या RB1 = RB2 + 10.5 cm = 21.0 + 10.5 = 31.5 cm
तब, BLACK क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या Rb2 = 31.5 cm
तथा बाहरी त्रिज्या Rb1 = Rb2 + 10.5 cm = 31.5 + 10.5 = 42.0 cm
तब, WHITE क्षेत्र की भीतरी त्रिज्या Rw2 = 42.0 cm
बाहरी त्रिज्या Rw1 = Rw2 + 10.5 cm = 42.0 + 10.5 = 52.5 cm
इस प्रकार क्षेत्रवार त्रिज्याएँ :
प्रश्न 4.
किसी कार के प्रत्येक पहिए का व्यास 80 cm है। यदि यह कार 66 km प्रति घण्टे की चाल से चल रही है तो 10 मिनट में प्रत्येक पहिया कितने चक्कर लगाता है?
हल
कार के पहिए का व्यास = 80 cm
कार के पहिए की परिधि = π × व्यास
= 227 × 80 cm
= 17607 cm
कार की चाल = 66 km/h
= 66 × 100060 m/min
= 66 × 100060 × 100 cm/min
= 110000 cm/min
∴ कार द्वारा 10 मिनट में चली दूरी = चाल × समय
= 110000 × 10
= 1100000 cm
∴ 10 मिनट में चली दूरी 1100000 cm के लिए पहिए के चक्करों की संख्या
अत: 10 मिनट में कार का प्रत्येक पहिया 4375 चक्कर लगाएगा।
प्रश्न 5.
निम्नलिखित में सही उत्तर चुनिए तथा अपने उत्तर का औचित्य दीजिए-
यदि एक वृत्त का परिमाप और क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है तो उस वृत्त की त्रिज्या है-
(A) 2 मात्रक
(B) π मात्रक
(C) 4 मात्रक
(D) 7 मात्रक
हल
माना वृत्त की त्रिज्या = R
तब, वृत्त का परिमाप (परिधि) = 2πR
और वृत्त का क्षेत्रफल = πR2
संख्यात्मक रूप से, वृत्त का क्षेत्रफल = वृत्त का परिमाप
πR2 = 2πR
R = 2 (दोनों पक्षों को πR से भाग देने पर)
वृत्त की त्रिज्या = 2 मात्रक
अत: विकल्प (A) सही है।
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