Chapter 10 - वृत्त (Additional Questions)

वृत्त

बहुविकल्पीय प्रश्न

प्रश्न 1.
चित्र में O केन्द्र वाले वृत्त की त्रिज्या OD = 4 cm है। यदि OB = 5 cm हो, तो स्पर्श रेखा BC की लम्बाई होगी
(i) 3 cm
(ii) 4 cm
(iii) 2 cm
(iv) 3.5 cm
हल
(i) 3 cm

प्रश्न 2.
दो वृत्त परस्पर बाह्य स्पर्श करते हैं। उनकी त्रिज्याएँ 3.6 cm और 1.6 cm हैं। इनके केन्द्रों के बीच की दूरी होगी
(i) 1.6 cm
(ii) 3.6 cm
(iii) 2.0 cm
(iv) 5.2 cm
हल
(iv) 5.2 cm

प्रश्न 3.
दो वृत्त एक-दूसरे को बाह्यतः स्पर्श करते हैं। उनके केन्द्रों के बीच की दूरी 7 cm और एक वृत्त की त्रिज्या 3 cm है, तो दूसरे वृत्त की त्रिज्या होगी
(i) 10 cm
(ii) 4 cm
(iii) 3 cm
(iv) 7 cm
हल
(ii) 4 cm

प्रश्न 4.
चित्र में वृत्त का केन्द्र O है। वृत्त के बिन्दु P पर स्पर्शरखा TPT’ खींची गई है और इसके अन्तर्गत एक त्रिभुज ABP खींचा गया है। यदि ∠BPT = 60° हो, तो ∠BAP का मान क्या होगा?

(i) 30°
(ii) 45°
(iii) 60°
(iv) 75°
हल
(iii) 60°

प्रश्न 5.
चित्र में ABCD एक चक्रीय चतुर्भुज है। वृत्त के बिन्दु B पर स्पर्श रेखा PBQ खींची गई है। यदि ∠DBQ = 110° तो ∠DAB की माप होगी

(i) 110°
(ii) 90°
(iii) 70°
(iv) 55°
हल
(iii) 70°

प्रश्न 6.
चित्र में O वृत्त का केन्द्र है। AB एक जीवा तथा AC स्पर्शी है। यदि ∠BOA = 120° हो, तो ∠BAC का मान होगा

(i) 40°
(ii) 60°
(iii) 80°
(iv) 100°
हल
(ii) 60°

प्रश्न 7.
चित्र में एक वृत्त का केन्द्र O है। इस वृत्त के बाह्य बिन्द T से वृत्त पर स्पर्शरेखाएँ TP और TQ खींची जाती हैं। सम्पर्क जीवा PQ वृत्त के शेष भाग पर ∠PAQ = 70° बनाती है तो स्पर्शरेखाओं के बीच कितने अंश का कोण होगा?

(i) 20°
(ii) 40°
(iii) 70°
(iv) 110°
हल
(ii) 40°

अतिलघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
एक वृत्त की त्रिज्या 5 cm है। इस वृत्त पर किसी बाहरी बिन्दु से एक स्पर्शरेखा खींची जाती है। यदि स्पर्शरेखा की लम्बाई 12 cm है, तो बिन्दु की वृत्त के केन्द्र से दूरी ज्ञात कीजिए।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखा PA खींची गयी है।
AP = 12 cm तथा त्रिज्या OA = 5 cm
गणना : O को A से मिलाया।
∆OAP में, ∠OAP = 90°
समकोण ∆OAP में,
OP² = OA² + AP²
⇒ OP² = (5)² + (12)²
⇒ OP² = 25 + 144
⇒ OP² = 169
⇒ OP = √169 = 13 cm
अत: बिन्दु की वृत्त के केन्द्र से दूरी 3 cm है।

प्रश्न 2.
उस वृत्त की त्रिज्या क्या होगी जिसके केन्द्र से 5.0 cm की दूरी पर स्थित एक बिन्दु से खींची गई उस वृत्त की स्पर्शरेखा की लम्बाई 3.0 cm है?

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में बाह्य बिन्दु P से स्पर्शरेखा AP = 3 cm
गणना : O को A से मिलाया।
तब ∆OAP में, ∠OAP = 90°
∆OAP में,
OA² = OP² – AP²
⇒ OA² = (5.0)² – (3.0)²
⇒ OA² = 25 – 9 = 16
⇒ OA = √16 cm = 4 cm
अत: वृत्त की त्रिज्या 4 cm है।

प्रश्न 3.
चित्र में AB और CD दो वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ परस्पर बिन्दु E पर प्रतिच्छेद करती हैं। सिद्ध कीजिए कि AE + ED = BE + EC

हल
AE = EC (बाह्य बिन्दु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ) ……… (1)
इसी प्रकार ED = EB (बाह्य बिन्दु से एक ही वृत्त की स्पर्श रेखाएँ) ………. (2)
समी० (1) व (2) को जोड़ने पर,
AE + ED = EC + EB
⇒ AE + ED = BE + EC
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है। वृत्त की स्पर्शरेखाओं PA तथा PB के बीच का ∠APB = 50° है, तो ∠AOB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∠OAP = 90° तथा ∠OBP = 90°
(स्पर्श त्रिज्या और स्पर्शरेखा के बीच बने कोण)
∴ ∠OAP + ∠OBP = 90° + 90° = 180°
∴ OAPB एक चक्रीय चतुर्भुज है।
∴ ∠AOB + ∠APB = 180°
⇒ ∠AOB = 180° – ∠APB = 180° – 50° = 130°

प्रश्न 5.
चित्र में O, वृत्त का केन्द्र है, PA और PB वृत्त की बिन्दु P से स्पर्शियाँ हैं और ∠APB = 50° तो ∠OAB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∆ABP में, AP = BP(बाह्य बिन्दु से स्पर्श रेखाखण्ड)
∴ ∠PAB = ∠ABP
पुनः ∠PAB + ∠ABP + ∠APB = 180°
⇒ 2∠PAB = 180° – 50° = 130°
⇒ ∠PAB = 65°
∠OAB = 90° – ∠PAB (∵ OA ⊥ AP)
⇒ ∠OAB = 90° – 65° = 25°

प्रश्न 6.
चित्र में, बिन्दु O वृत्त का केन्द्र है तथा CPD वृत्त की स्पर्शरेखा है। यदि ∠APC = 60° तो ∠BAP की माप ज्ञात कीजिए।

हल
P को B से मिलाया।
तब ∠ABP = ∠APC = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
तथा ∠APB = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∆APB में,
∠BAP = 180° – (∠ABP + ∠APB)
= 180° – (60° + 90° )
= 30°

प्रश्न 7.
चित्र में, O वृत्त का केन्द्र है, रेखा QAR वृत्त की बिन्दु A पर स्पर्शरेखा और AB जीवा है। यदि ∠BAR = 60° तो ∠AOB व ∠OBA की माप ज्ञात कीजिए।

हल
∠BPA = ∠BAR = 60° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
∠AOB = 2∠APB (समान चाप द्वारा केन्द्र और परिधि पर बने कोण)
= 2 × 60°
= 120°
समद्विबाहु त्रिभुज OAB में,
∠OBA = ∠OAB
= 12 (180° – ∠AOB)
= 12 (180° – 120°)
= 12 × 60°
= 30°

प्रश्न 8.
चित्र में वृत्त के बिन्दु पर खींची गई स्पर्श रेखा और व्यास AB बढ़ाने पर बिन्दु P पर मिलते हैं। यदि ∠PCA = 120°, तो ∠CBA की माप ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में ∠ACB = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∠PCB = 120° – 90° = 30°
पुनः ∠CAB = ∠PCB = 30° (एकान्तर वृत्त खण्ड में स्थित कोण)
∆ABC में, ∠CBA = 180° – (∠ACB + ∠CAB)
= 180° – (90° + 30°)
= 60°

लघु उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
सिद्ध कीजिए कि किसी बाह्य बिन्दु से वृत्त पर खींची गई दो स्पर्शरेखाओं की लम्बाइयाँ बराबर होती हैं। तथा केन्द्र पर समान कोण अन्तरित करती है।
हल
दिया है : AP व AQ बिन्दु A से वृत्त C(O, r) पर खींचे गए दो स्पर्श रेखाखण्ड हैं।

सिद्ध करना है: AP = AQ तथा ∠AOP = ∠AOQ
रचना : रेखाखण्ड OA, OP और OQ खींचिए।
उपपत्ति: ∠OPA = ∠OQA = 90° (∵ वृत्त की स्पर्शरेखा स्पर्श बिन्द से जाने वाली त्रिज्या पर लम्ब होती है।)
∆OPA व ∆OQA में,
∠OPA = ∠OQA (अभी सिद्ध किया है)
OP = OQ (वृत्त की त्रिज्याएँ)
तथा OA उभयनिष्ठ है।
ΔΟΡΑ ≅ ΔOQA
AP = AQ (सर्वांगसम त्रिभुज के संगत भाग)
तथा ∠AOP = ∠AOQ
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
दिये गये चित्र में बाह्य स्पर्श करने वाले दो वृत्तों की उभयनिष्ठ अनुस्पर्शी रेखाएँ PDC तथा PEF खींची गई हैं जो वृत्तों को क्रमश: D व C तथा E व F पर स्पर्श करती हैं। सिद्ध कीजिए DC = EF

हल
दिया है : वृत्तों की बाह्य बिन्दु P से उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ PDC व PEF हैं।
सिद्ध करना है : DC = EF
उपपत्ति: ∵ PC व PF बड़े वृत्त की बाह्य बिन्दु P से स्पर्श रेखाएँ हैं।
PC = PF ………(1)
इसी प्रकार छोटे वृत्त के लिए
PD = PE ……….(2)
समी० (1) से (2) को घटाने पर,
PC – PD = PF – PE
DC = EF
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दो वृत्तों के केन्द्र O और O’ हैं जो एक-दूसरे को बाह्मतः बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं। इन वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा AB खींची जाती है। सिद्ध कीजिए कि
∠APB = 90°

हल
दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र O व O’ है, बाह्यतः बिन्दु P पर एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं तथा दोनों वृत्तों की एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा AB है।
सिद्ध करना है : ∠APB = 90°
रचना : बिन्दु P से दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा खींची जो AB को बिन्दु Q काटती है।
उपपत्ति : ∆BPQ में,
PQ = BQ (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखायें)
पुनः इसी प्रकार ∆APQ में, AQ = PQ
AQ = BQ
अर्थात् Q, AB का मध्य बिन्दु है।
अर्थात् ∆APB में शीर्ष P से खींची गयी माध्यिका सम्मुख भुजा की आधी है।
∆APB समकोण त्रिभुज है।
अर्थात् ∠APB = 90°
इति सिद्धम्

प्रश्न 4.
दिये गये चित्र में दो संकेन्द्रीय वृत्त जिनका केन्द्र O है तथा जिनकी त्रिज्याएँ क्रमशः 5 cm तथा 3 cm मापों की हैं। बाह्य बिन्दु P से संगत वृत्तों पर खींची गई स्पर्शियाँ PA तथा PB हैं। यदि PA = 12 cm हो, तो PB की माप ज्ञात कीजिए।

हल
O को A व B से मिलाया तब ∠OAP = 90° तथा ∠OBP = 90° तथा OA = 5 cm व OB = 3 cm
समकोण ∆OAP में,
OP² = OA² + AP² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169
या OP = 13 सेमी
पुन: समकोण ∆OPB में
PB² = OP² – OB² = (13)² – (3)² = 169 – 9 = 160
या PB = 4√10 cm

प्रश्न 5.
∆ABC के अन्तर्गत एक वृत्त खींचा गया है तथा P, Q, R स्पर्श बिन्दु हैं। यदि PA = 4 cm, PB = 6 cm तथा AC = 12 cm तो BC की माप ज्ञात कीजिए।

हल
चित्र में,
AP= AR = 4 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखा)
∴ CR = AC – AR = 12 – 4 = 8 cm
पुन: CR = CQ = 8 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु से वृत्त की स्पर्श रेखायें) तथा
तथा BP = BQ = 6 cm (उभयनिष्ठ बिन्दु B से वृत्त की स्पर्श रेखा)
∴ BC = BQ + CQ = 6 + 8 = 14 cm

प्रश्न 6.
सिद्ध कीजिए कि यदि दो वृत्त एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं तो वृत्तों के केन्द्र तथा स्पर्श बिन्दु एक रेखीय होते हैं।

हल
दिया है : दो वृत्त जिनके केन्द्र A और B हैं, एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं।
सिद्ध करना है : बिन्दु A, P और B संरेख हैं।
रचना : दोनों वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर स्पर्श करते हैं। अतः इनके उभयनिष्ठ बिन्दु P पर एक ही उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT होगी।
बिन्दु P पर दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT रेखाखण्ड PA और PB खींचिए।
उपपत्ति : वृत्तों की त्रिज्याएँ AP और BP तथा उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा PT है।
वृत्त की स्पर्श रेखा तथा स्पर्श बिन्दु से खींची गयी त्रिज्या एक-दूसरे पर लम्ब होती हैं।
∴ PA ⊥ PT और PB ⊥ PT
परन्तु किसी रेखा पर एक बिन्दु से केवल एक लम्ब खींचा जा सकता है और P से रेखा PT पर PA और PB लम्ब हैं।
अत: रेखा PA और PB संरेख हैं।
अर्थात् A, P तथा B संरेख हैं।
अतः स्पर्श बिन्दु P,रेखा AB पर स्थित है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 7.
एक त्रिभुज ABC का अन्तः वृत्त त्रिभुज की भुजाओं AB, BC तथा CA को क्रमशः बिन्दुओं P, Q तथा R पर स्पर्श करता है। यदि ∠BAC = 100° तो ∠PQR की माप ज्ञात कीजिए।

हल
रचना : PR को मिलाया।
∆APR में, AP = PR (उभयनिष्ठ बिन्दु से स्पर्श रेखाएँ)
∠APR = ∠ARP
∆APR में,
∠APR + ∠ARP + ∠PAR = 180°
⇒ 2∠ARP + 100° = 180°
⇒ ∠ARP = 40° (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
पुनः ∠PQR = ∠ARP = 40°

प्रश्न 8.
एक बाह्य बिन्दु T से एक वृत्त पर स्पर्शरेखा TP तथा एक छेदक रेखा TAB खींची गई है जो वृत्त को A और B पर काटती है। ∠APB का अर्द्धक AB को बिन्दु Q पर काटता है। सिद्ध कीजिए कि रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ

हल
दिया है : बाह्य बिन्दु T से वृत्त पर स्पर्श रेखा TP तथा छेदक रेखा TAB है जो वृत्त को A तथा B बिन्दुओं पर काटती है। PQ, ∠APB का अर्द्धक है जो AB को Q पर काटता है।
अत: ∠APQ = ∠BPQ
सिद्ध करना है : रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ
उपपत्ति :
∠TPA = ∠PBA (एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
अतः ∠TPQ = ∠TPA + ∠APQ = ∠PBQ + ∠APQ ……(1)
पुनः ∠TQP = ∠QPB + ∠PBQ (∵ ∠TQP, DBQP का बहिष्कोण है)
⇒ ∠TQP = ∠APQ + ∠PBQ ……(2)
समीकरण (1) व (2) से,
∠TPQ = ∠TQP
∆TPQ में,
रेखाखण्ड TP = रेखाखण्ड TQ (समान कोणों के सामने की भुजाएँ)
इति सिद्धम्

प्रश्न 9.
O एक वृत्त का केन्द्र है। दो स्पर्शरेखाएँ TP और TQ जो वृत्त को क्रमशः P और Q बिन्दुओं पर स्पर्श करती हैं। वृत्त के बाहर स्थित एक बिन्द T से खींची गई है। सिद्ध कीजिए कि ∠PTQ = 2∠OPQ

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त के बाहर स्थित बिन्दु T से वृत्त पर स्पर्श रेखाएँ TP और TQ खींची गई है।
रचना : OP, OQ व PQ को मिलाया।
सिद्ध करना है : ∠PTQ = 2∠OPQ
उपपत्ति: ∠OPT = 90° (∵ PT बिन्दु P पर स्पर्शरेखा)
तथा इसी प्रकार ∠OQT = 90°
∠OPT + ∠OQT = 90° + 90° = 180°
चतुर्भुज के शेष कोणों ∠POQ व ∠PTQ का योग = 180°
अतः ∠POQ + ∠PTQ = 180° ………..(1)
पुन: ∆OPQ में,
∠OPQ = ∠OQP (समान भुजाओं के सामने के कोण)
∆OPQ में,
∠POQ = 180° – 2∠OPQ …….(2)
समीकरण (1) व (2) से,
180° – 2∠OPQ + ∠PTQ = 180°
⇒ 2∠OPQ = ∠PTQ
इति सिद्धम्

दीर्घ उत्तरीय प्रश्न

प्रश्न 1.
किसी वृत्त की जीवा PQ, उसके बिन्दु R पर खींची गयी स्पर्श रेखा ARB के समान्तर है। सिद्ध कीजिए बिन्दु R, चाप PRQ को समद्विभाजित करता है।

हल
दिया है : O केन्द्र वाले वृत्त में जीवा PQ है तथा वृत्त के बिन्दु R पर खींची गई स्पर्शरेखा ARB || PQ.
सिद्ध करना है : बिन्दु R, चाप PRQ को अर्द्धित करता है।
रचना : बिन्दु O को बिन्दु R से मिलाया जो PQ को बिन्दु M पर काटता है। PR व QR को मिलाया।
उपपत्ति : चूँकि स्पर्श बिन्दु से जाने वाली वृत्त की त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लम्ब होती है।
∴ OR ⊥ AB
पुनः चूँकि PQ || AB
∴ OMR ⊥ PQ
अर्थात् ∠PMR = ∠QMR = 90°
वृत्त के केन्द्र से जीवा पर डाला गया लम्ब जीवा को समद्विभाजित करता है।
PM = MQ
ΔPMR व ΔQMR में,
PM = MQ (अभी सिद्ध किया है)
∠PMR = ∠QMR (अभी सिद्ध किया है)
तथा MR उभयनिष्ठ है।
∴ ΔPMR ≅ ΔQMR
∴ PR = QR
चूँकि समान वृत्त में बराबर जीवाओं के संगत चाप बराबर होते हैं।
∴ चाप PR = चाप RQ
अर्थात् बिन्दु R चाप PRQ को अद्धित करता है।
इति सिद्धम्

प्रश्न 2.
सिद्ध कीजिए कि यदि एक रेखा वृत्त को स्पर्श करती है तो स्पर्श बिन्दु से खींची गयी जीवा और स्पर्शरेखा के बीच बने कोण संगत एकान्तर वृत्तखण्डों के कोणों के बराबर होते हैं।

हल
दिया है : केन्द्र O वाला एक वृत्त जिसके बिन्दु A पर स्पर्शरेखा PAR है तथा जीवा AB है। दो बिन्दु D और C जीवा AB के दोनों ओर वृत्तखण्डों पर स्थित हैं और D पर ∠ADB और C पर ∠ACB बना है।
सिद्ध करना है :
(i) ∠BAR = ∠BCA
(ii) ∠BAP = ∠BDA
रचना : व्यास AOE खींचा और EB को मिलाया।
उपपत्ति : वृत्त की त्रिज्या स्पर्शरेखा पर लम्ब होती है।
∠RAO अथवा ∠RAE = 90°
∠BAR + ∠BAE = 90° ……..(1)
⇒ ∠ABE = 90° (अर्द्धवृत्त में स्थित कोण)
∆ABE में,
∠BAE + ∠BEA = 90°
समीकरण (1) व (2) से,
∠BAR + ∠BAE = ∠BAE + ∠BEA
या ∠BAR = ∠BEA
परन्तु ∠BEA = ∠BCA (एक ही वृत्तखण्ड में स्थित कोण)
अत: ∠BAR = ∠BCA
इति सिद्धम्
पुनः ∠BAR + ∠BAP = 180° (∵ PAR सरल रेखा है)
तथा ∠BCA + ∠BDA = 180° (चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण)
∠BAR + ∠BAP = ∠BCA + ∠BDA
अतः ∠BDA = ∠BAP (∵ ∠BAR = ∠BCA)
इति सिद्धम्

प्रश्न 3.
दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर अन्तःस्पर्श करते हैं। बड़े वृत्त की कोई जीवा AB खींची जाती है, जो छोटे वृत्त को बिन्दु पर स्पर्श करती है। सिद्ध कीजिए रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।

हल
दिया है : दो वृत्त एक-दूसरे को बिन्दु P पर अन्त:स्पर्श करते हैं।
बड़े वृत्त की कोई जीवा AB खींची गयी है जो छोटे वृत्त को बिन्दु C पर स्पर्श करती है।
AP, BP और CP को मिलाया गया है।
सिद्ध करना है : रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।
रचना : रेखाखण्ड AP छोटे वृत्त को बिन्दु D पर काटता है।
CD को मिलाया और दोनों वृत्तों की उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा TPT खींची।
उपपत्ति: T’PT स्पर्शरेखा छोटे वृत्त को बिन्दु P पर स्पर्श करती है और PD उसकी जीवा है।
∠TPD = एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित ∠PCD …….(1)
इसी प्रकार बड़े वृत्त के लिए, ∠TPA = ∠PBA
∠TPD = ∠PBC …….(2)
अतः समी० (1) व (2) से, ∠PBC = ∠PCD
अब बड़े वृत्त की जीवा AB छोटे वृत्त को बिन्दु C पर स्पर्श करती है और उसकी जीवा CP है।
अत: ∠PCB = एकान्तर वृत्तखण्ड में स्थित ∠PDC ……(3)
∆PCD और ∆PBC में,
∠PBC = ∠PCD (अभी सिद्ध किया है)
∠PCB = ∠PDC (अभी सिद्ध किया है)
शेष कोण, ∠DPC = ∠BPC
अत: रेखाखण्ड CP, ∠APB का अर्द्धक है।
इति सिद्धम्